1. Biểu diễn dữ liệu theo các yếu tố cơ bản

Giả sử doanh thu của một doanh nghiệp phụ thuộc vào ba yếu tố: Chi phí quảng cáo; Giá bán; Chất lượng dịch vụ.

Ta có thể xem mỗi yếu tố trên là một vector trong hệ cơ sở, kí hiệu . Khi đó mọi trạng thái hoạt động của doanh nghiệp được biểu diễn dưới dạng 

Trong đó   là các hệ số thực, cho biết mức độ ảnh hưởng của từng yếu tố.

Như vậy, ta phân tích nó thành các thành phần cơ bản để dễ dàng đánh giá và ra quyết định.

2. Chuyển đổi hệ quy chiếu trong kinh tế

Giả sử một doanh nghiệp đánh giá hiệu quả hoạt động dựa trên doanh thu và chi phí. Trong khi đó, nhà đầu tư lại quan tâm đến lợi nhuận và tỷ suất lợi nhuận.

Đây thực chất là việc chuyển từ một hệ cơ sở sang một hệ cơ sở khác. Ta dùng công thức chuyển tọa độ

để chuyển tọa độ từ cơ sở này sang cơ sở khác, phù hợp với mục đích nghiên cứu và đánh giá của các đối tượng khác nhau.

3. Phân tích dữ liệu và giảm số chiều

Trong khoa học dữ liệu, mỗi khách hàng có thể được mô tả bởi nhiều biến như tuổi, thu nhập, tần suất mua hàng,...

Người ta tìm một hệ cơ sở mới sao cho các trục mới chứa nhiều thông tin nhất của dữ liệu. Đây chính là ý tưởng của phương pháp PCA (Principal Component Analysis).

4. Nén ảnh và nén dữ liệu

Một bức ảnh số có thể được xem như một ma trận các giá trị số.

Bằng cách chuyển dữ liệu sang một hệ cơ sở thích hợp (Fourier, Wavelet, SVD), ta có thể giữ lại những thành phần quan trọng và loại bỏ những thành phần ít quan trọng, từ đó giảm dung lượng lưu trữ.

5. Quản lý sản xuất và logistics

Giả sử một công ty sản xuất ba loại sản phẩm: - Bàn; - Ghế; - Tủ và khối lượng nguyên vật liệu cho mỗi sản phẩm như sau: sản phẩm bàn cần 10 kg gỗ, 2 kg kim loại; sản phẩm ghế cần 5 kg gỗ, 1 kg kim loại, sản phẩm tủ cần 20 kg gỗ, 3 kg kim loại.

Trong công ty, phòng sản xuất quản lý số lượng sản phẩm sản xuất trong tháng, phòng kho quản lý khối lượng nguyên vật liệu để chế tạo sản phẩm. Giả sử kế hoạch sản xuất trong tháng là 100 bàn, 200 ghế và 50 tủ.

Khi đó, đối với phòng sản xuất, ta chọn hệ cơ sở

thì vector biểu diễn kế hoạch sản xuất là 

Với phòng sản xuất quản lý số lượng sản phẩm thì tọa độ trên đã cung cấp đầy đủ thông tin.

Tuy nhiên, đối với phòng kho chỉ quan tâm đến lượng nguyên vật liệu cần sử dụng (như gỗ, kim loại) thì tọa độ trên chưa cung cấp đủ thông tin. Ta tính khối lượng nguyên vật liệu như sau:

Như vậy cùng một kế hoạch sản xuất, ta có thể biểu diễn theo một hệ tọa độ mới: 

trong đó mỗi thành phần của tọa độ biểu thị lượng gỗ và kim loại cần sử dụng, phù hợp với các yếu tố mà phòng kho quan tâm

Điều này cho thấy cùng một đối tượng nhưng có thể được mô tả theo nhiều hệ cơ sở khác nhau tùy mục đích quản lý và phân tích.