Một buổi sáng, bạn đang di chuyển trên con đường đông đúc. Không có tai nạn, không có đèn đỏ, nhưng dòng xe phía trước bỗng chậm lại, thậm chí dừng hẳn. Ít phút sau, giao thông lại trở nên thông thoáng. Điều gì đã khiến một dòng xe đang chuyển động bình thường bất ngờ ùn tắc? Thoạt nhìn, đây có vẻ chỉ là vấn đề giao thông. Tuy nhiên, đằng sau hiện tượng quen thuộc ấy là một câu hỏi sâu sắc của toán học và vật lý: Làm thế nào những chuyển động riêng lẻ, đôi khi mang tính ngẫu nhiên, lại tạo nên các quy luật chung có thể dự đoán được?

Câu chuyện bắt đầu từ năm 1827, khi nhà thực vật học người Scotland Robert Brown quan sát những hạt nhỏ có nguồn gốc từ phấn hoa lơ lửng trong nước dưới kính hiển vi. Ông nhận thấy chúng liên tục chuyển động theo những quỹ đạo bất thường, không có hướng đi cố định. Hiện tượng này về sau được gọi là chuyển động Brown. Phải đến năm 1905, Albert Einstein mới đưa ra một cách giải thích định lượng dựa trên chuyển động nhiệt của các phân tử chất lỏng. Những va chạm liên tục và không cân bằng tại từng thời điểm khiến hạt nhỏ chuyển động một cách ngẫu nhiên.

Điều đáng chú ý là mặc dù ta không thể dự đoán chính xác vị trí của một hạt ở một thời điểm nhất định, chúng ta vẫn có thể mô tả chính xác những đặc điểm thống kê của chuyển động ấy. Chẳng hạn, lý thuyết của Einstein cho thấy bình phương độ dịch chuyển trung bình của hạt Brown tăng tỉ lệ thuận với thời gian. Nói cách khác, sau một khoảng thời gian dài gấp bốn lần, độ dịch chuyển điển hình của hạt chỉ tăng khoảng hai lần, chứ không phải bốn lần.

Sự ngẫu nhiên ở cấp độ vi mô không đồng nghĩa với việc không có quy luật ở cấp độ vĩ mô. Chính từ những chuyển động không thể dự đoán riêng lẻ, toán học có thể tìm ra những quy luật chung hết sức chính xác.

Từ bước đi ngẫu nhiên đến những quy luật toán học

Để hiểu rõ hơn, hãy tưởng tượng một người đứng trên một đường thẳng. Mỗi lần tung đồng xu, nếu xuất hiện mặt ngửa, người đó bước sang phải một mét; nếu xuất hiện mặt sấp, người đó bước sang trái một mét. Sau 100 lần tung đồng xu, người ấy sẽ đứng ở đâu?

Chúng ta không thể biết trước vị trí chính xác. Tuy nhiên, toán học cho phép xác định rằng độ dịch chuyển điển hình chỉ vào khoảng 10 mét, mặc dù tổng quãng đường đã đi là 100 mét. Nguyên nhân là những bước đi theo hai hướng có xu hướng triệt tiêu lẫn nhau.

Mô hình đơn giản này được gọi là bước đi ngẫu nhiên (random walk), một trong những đối tượng cơ bản của lý thuyết xác suất. Từ đây, các nhà toán học đã phát triển những công cụ để nghiên cứu sự khuếch tán của phân tử, biến động trên thị trường tài chính, quá trình tìm kiếm thức ăn của sinh vật và nhiều hiện tượng khác.

Tuy nhiên, trong thực tế, các đối tượng chuyển động thường không hoàn toàn độc lập. Một chiếc xe phải giảm tốc khi gặp xe phía trước. Một phân tử có thể bị cản trở bởi những phân tử khác. Khi đó, một câu hỏi mới xuất hiện: Điều gì xảy ra nếu những đối tượng chuyển động ngẫu nhiên còn tương tác với nhau?

Vì sao một dòng xe có thể tự hình thành ùn tắc?

Hãy quay lại ví dụ giao thông ban đầu. Để nghiên cứu dòng xe, các nhà khoa học có thể chia con đường thành những ô nhỏ, mỗi ô chỉ chứa tối đa một chiếc xe. Tại mỗi thời điểm, một chiếc xe có thể tiến lên ô phía trước, nhưng chỉ khi ô đó còn trống.

Đây là ý tưởng cơ bản của một mô hình toán học được gọi là quá trình loại trừ bất đối xứng hoàn toàn (Totally Asymmetric Simple Exclusion Process, viết tắt là TASEP).

Điều thú vị là dù quy tắc chuyển động rất đơn giản, mô hình vẫn cho thấy những hiện tượng tập thể không hề hiển nhiên.

Khi mật độ xe thấp, phần lớn các xe có thể di chuyển mà không gặp trở ngại. Khi mật độ tăng lên, số xe đi qua một vị trí trong một đơn vị thời gian cũng tăng. Tuy nhiên, nếu đường trở nên quá đông, các xe bắt đầu cản trở lẫn nhau và lưu lượng giao thông giảm xuống.

Trong một phiên bản lý tưởng của mô hình, lưu lượng giao thông được mô tả bởi công thức:

J(ρ) = ρ(1 − ρ)

trong đó ρ là mật độ xe, nhận giá trị từ 0 đến 1.

Công thức này cho thấy một điều khá thú vị: Khi đường hoàn toàn trống, không có xe nào đi qua nên lưu lượng bằng không. Khi đường hoàn toàn kín xe, không còn khoảng trống để di chuyển và lưu lượng cũng bằng không. Lưu lượng lớn nhất đạt được ở một mật độ trung gian, cụ thể là ρ = 1/2 trong mô hình lý tưởng này.

Tất nhiên, giao thông thực tế phức tạp hơn nhiều, vì các phương tiện có tốc độ khác nhau, người lái có phản ứng khác nhau và còn chịu ảnh hưởng của điều kiện đường sá. Tuy nhiên, những mô hình đơn giản như TASEP giúp các nhà khoa học hiểu được vai trò của mật độ và sự tương tác giữa các phương tiện đối với khả năng vận chuyển của cả hệ thống.

Các phiên bản mở rộng còn cho phép nghiên cứu sự hình thành và lan truyền của những vùng ùn tắc, kể cả khi không có một vật cản cố định nào trên đường.

Khi giao thông xuất hiện bên trong tế bào

Một ứng dụng bất ngờ khác của những mô hình này nằm trong sinh học phân tử.

Bên trong tế bào, quá trình tổng hợp protein diễn ra nhờ các ribosome di chuyển dọc theo phân tử RNA thông tin (mRNA). Các ribosome không thể tùy ý vượt qua nhau, bởi mỗi ribosome chiếm một đoạn nhất định trên phân tử mRNA. Vì vậy, sự di chuyển của chúng có những điểm tương đồng với các phương tiện trên một con đường một chiều.

Nếu có quá ít ribosome, quá trình tổng hợp protein có thể diễn ra chậm vì số lượng ribosome tham gia còn hạn chế. Ngược lại, nếu quá nhiều ribosome cùng hoạt động trên một phân tử mRNA, chúng có thể cản trở lẫn nhau. Khi đó, hiệu quả tổng hợp protein không chỉ phụ thuộc vào tốc độ hoạt động của từng ribosome mà còn phụ thuộc vào sự tương tác giữa chúng.

Các mô hình dựa trên quá trình loại trừ được sử dụng để nghiên cứu những hiện tượng như vậy. Tương tự, sự di chuyển của enzyme RNA polymerase dọc theo DNA trong quá trình phiên mã cũng có thể được mô tả bằng các mô hình hạt tương tác.

Như vậy, những nguyên lý toán học được dùng để nghiên cứu một dòng xe đông đúc cũng có thể giúp chúng ta hiểu các quá trình diễn ra ở cấp độ phân tử bên trong tế bào.

Từ những quy tắc đơn giản đến thế giới phức tạp

Một trong những điều hấp dẫn nhất của toán học hiện đại là khả năng kết nối những hiện tượng tưởng chừng không liên quan.

Một hạt phấn hoa chuyển động trong nước, một người đi bộ ngẫu nhiên, một dòng xe trên đường phố hay một ribosome di chuyển trên mRNA đều có thể được nghiên cứu dưới góc nhìn của lý thuyết xác suất và các hệ hạt tương tác.

Tất nhiên, mỗi hiện tượng có những đặc điểm riêng và không một mô hình đơn giản nào có thể phản ánh đầy đủ mọi khía cạnh của thực tế. Giá trị của mô hình toán học nằm ở việc nhận diện được các cơ chế cơ bản, từ đó giải thích những hiện tượng quan sát được và đưa ra những dự đoán có thể kiểm chứng.

Điều này cũng cho thấy toán học không chỉ là tập hợp của những phép tính hay công thức trừu tượng. Toán học còn là một ngôn ngữ để khám phá các quy luật tự nhiên, đặc biệt trong những hệ thống mà hành vi của từng thành phần rất khó dự đoán.

Đôi khi, để hiểu được một thế giới vô cùng phức tạp, chúng ta chỉ cần bắt đầu từ những quy tắc rất đơn giản. Và chính từ những quy tắc ấy, các nhà khoa học có thể khám phá ra những quy luật chung chi phối thế giới xung quanh chúng ta.

Tài liệu tham khảo

1. Einstein, A. (1905). Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen der Physik, 17, 549–560.
2. Derrida, B. (1998). An exactly soluble non-equilibrium system: The asymmetric simple exclusion process. Physics Reports, 301, 65–83.
3. MacDonald, C. T., Gibbs, J. H., & Pipkin, A. C. (1968). Kinetics of biopolymerization on nucleic acid templates. Biopolymers, 6, 1–25.