Entropy là một khái niệm được sử dụng rộng rãi trong toán học, lý thuyết thông tin, vật lý, và nhiều lĩnh vực khác. Nó đo lường mức độ không chắc chắn, hỗn loạn hoặc sự "thiếu trật tự" trong một hệ thống.

1. Entropy trong lý thuyết thông tin

Khái niệm này được Claude Shannon giới thiệu vào năm 1948 trong lý thuyết thông tin, định nghĩa entropy để đo lượng thông tin trung bình được tạo ra từ một nguồn.

Công thức:
\[H(X) = - \sum_{i} P(x_i) \log_2 P(x_i)\]
Trong đó:

• \(X\): Biến ngẫu nhiên (đại diện cho các thông tin hoặc sự kiện).
• \(P(x_i)\): Xác suất xảy ra của sự kiện \(x_i\)​.
• \(H(X)\): Entropy của nguồn thông tin \(X\).

Ý nghĩa:

• Nếu tất cả các sự kiện đều có xác suất bằng nhau, entropy đạt giá trị tối đa.
• Nếu một sự kiện xảy ra chắc chắn, entropy bằng 0 (không có bất ngờ).

Ứng dụng:

• Nén dữ liệu: Giảm kích thước dữ liệu bằng cách loại bỏ thông tin thừa.
• Mã hóa: Tạo ra các mã hiệu quả hơn.

2. Entropy trong nhiệt động lực học

Entropy cũng xuất hiện trong vật lý, nơi nó đo lường mức độ hỗn loạn của một hệ thống vật lý.

Công thức:
\[S = k_B \ln \Omega\]
Trong đó:

• \(S\): Entropy.
• \(k_B\)​: Hằng số Boltzmann.
• \(\Omega\): Số trạng thái vi mô có thể xảy ra của hệ thống.

Ý nghĩa:

• Entropy tăng khi một hệ thống trở nên hỗn loạn hơn.
• Quy luật thứ hai của nhiệt động lực học: Entropy của một hệ cô lập luôn tăng hoặc không đổi theo thời gian.

Ứng dụng:

• Dự đoán trạng thái của các hệ thống nhiệt động lực học.

3. Entropy trong lý thuyết xác suất và học máy

Entropy được sử dụng để đo sự bất định trong các mô hình xác suất và tối ưu hóa thuật toán học máy:

• Cross-entropy: Đánh giá sự khác biệt giữa hai phân phối xác suất.
• Information gain: Dùng trong xây dựng cây quyết định để chọn đặc trưng quan trọng nhất.

Tóm lại

Entropy là một công cụ toán học linh hoạt giúp đo lường không chắc chắn hoặc hỗn loạn. Nó là cầu nối giữa các lĩnh vực khác nhau, từ lý thuyết thông tin, nhiệt động lực học, đến học máy và phân tích dữ liệu.