Giới thiệu phương pháp Stein cho phân phối mũ

Phương pháp Stein là một kỹ thuật mạnh trong xác suất để đánh giá khoảng cách giữa phân phối của một biến ngẫu nhiên $W$ với một phân phối chuẩn, Poisson, mũ, v.v. Trong phần này, ta tập trung vào phân phối mũ, cụ thể là phân phối mũ với tham số $\lambda = 1$:

$$ X \sim \mathrm{Exp}(1), \quad \mathbb{P}(X \in dx) = e^{-x} \mathbf{1}_{\{x \ge 0\}}\, dx. $$

Ý tưởng chính: ta tìm một toán tử Stein đặc trưng cho phân phối mũ, sau đó dùng nó để đo xem một biến $W$ có “gần” phân phối mũ hay không.

1. Đặc trưng Stein cho phân phối mũ

Toán tử Stein cho $\mathrm{Exp}(1)$.

Một lựa chọn tự nhiên cho toán tử Stein của phân phối mũ $\mathrm{Exp}(1)$ là

$$ (\mathcal{A}f)(x) = f'(x) - f(x), \quad x \ge 0. $$

Khi đó ta có kết quả đặc trưng sau.

Trực giác: với $X \sim \mathrm{Exp}(1)$, ta có mật độ $p(x) = e^{-x} \mathbf{1}_{\{x \ge 0\}}$. Từ quan hệ tích phân từng phần, một cách chính xác ta thu được

$$ \mathbb{E}[f'(X)] = \mathbb{E}[f(X)], $$

tức là $\mathbb{E}[f'(X) - f(X)] = 0$.

2. Phương trình Stein cho phân phối mũ

Để đo khoảng cách giữa phân phối của $W$ và $\mathrm{Exp}(1)$, ta xét một lớp hàm đánh giá $h$ (ví dụ, các hàm bị chặn hoặc Lipschitz), và so sánh

$$ \mathbb{E}[h(W)] \quad \text{với} \quad \mathbb{E}[h(X)], \quad X \sim \mathrm{Exp}(1). $$

Bước cơ bản trong phương pháp Stein là xây dựng phương trình Stein: với mỗi hàm $h$, tìm một hàm $f_h$ sao cho

$$ f_h'(x) - f_h(x) = h(x) - \mathbb{E}[h(X)], \quad x \ge 0. $$

Khi đó, nếu ta có một biến ngẫu nhiên $W$, thì

$$ \mathbb{E}[h(W)] - \mathbb{E}[h(X)] = \mathbb{E}\big[f_h'(W) - f_h(W)\big]. $$

Như vậy, việc đánh giá khoảng cách phân phối giữa $W$ và $X$ được chuyển thành bài toán đánh giá $\mathbb{E}\big[f_h'(W) - f_h(W)\big]$ cho các hàm $f_h$ liên quan.

Lời giải tường minh của phương trình Stein.

Xét phương trình vi phân

$$ f'(x) - f(x) = g(x), $$

với $g(x) = h(x) - \mathbb{E}[h(X)]$ đã cho. Đây là phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất, có thể giải bằng hệ số nhân:

Ta viết lại

$$ f'(x) - f(x) = g(x) \quad \Longleftrightarrow \quad \big(e^{-x} f(x)\big)' = e^{-x} g(x). $$

Tích phân hai vế từ $x$ đến $\infty$ (với giả thiết phù hợp để $f$ không nổ vô cực), ta được

$$ e^{-x} f(x) = - \int_x^\infty e^{-t} g(t)\, dt, $$

do đó

$$ f(x) = -e^{x} \int_x^\infty e^{-t} \big(h(t) - \mathbb{E}[h(X)]\big)\, dt. $$

3. Sử dụng phương pháp Stein để đánh giá khoảng cách

Giả sử $W$ là biến ngẫu nhiên không âm (ví dụ tổng của nhiều biến nhỏ, hoặc thời gian chờ trong một hệ thống phức tạp), và ta muốn xem $W$ có xấp xỉ phân phối mũ $\mathrm{Exp}(1)$ hay không.

Cho một lớp hàm kiểm tra $\mathcal{H}$ (ví dụ các hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz $\le 1$), ta có thể định nghĩa khoảng cách

$$ d(W, X) = \sup_{h \in \mathcal{H}} \big|\mathbb{E}[h(W)] - \mathbb{E}[h(X)]\big|, \quad X \sim \mathrm{Exp}(1). $$

Nhờ phương trình Stein, đối với mỗi $h \in \mathcal{H}$, ta có nghiệm $f_h$ sao cho

$$ \mathbb{E}[h(W)] - \mathbb{E}[h(X)] = \mathbb{E}\big[f_h'(W) - f_h(W)\big]. $$

Nếu ta có thể tìm được các chặn (bound) đồng đều cho $f_h$ và $f_h'$, ví dụ

$$ \|f_h\|_\infty \le C_1, \quad \|f_h'\|_\infty \le C_2 $$

cho mọi $h \in \mathcal{H}$, thì việc đánh giá $d(W,X)$ quy về việc kiểm soát kỳ vọng $\mathbb{E}\big[f_h'(W) - f_h(W)\big]$ dựa trên cấu trúc của $W$.

4. Kết luận

Phương pháp Stein cung cấp một khung mạnh mẽ để:

• Đặc trưng hóa phân phối mũ thông qua toán tử vi phân đơn giản.
• Chuyển bài toán đánh giá khoảng cách phân phối thành bài toán chặn kỳ vọng dạng Stein.
• Kết hợp với kỹ thuật coupling để thu được các chặn định lượng.

Nhiều mở rộng nâng cao hơn được phát triển cho phân phối mũ tham số tổng quát, phân phối Gamma, Beta và các họ phân phối khác.