Dưới đây là chi tiết về hành trình ra đời của phân phối này:

1. Bối cảnh: Bài toán tại nhà máy bia Guinness

Vào đầu thế kỷ 20, nhà máy bia Guinness là một trong những doanh nghiệp tiên tiến nhất thế giới trong việc áp dụng khoa học vào sản xuất. Họ tuyển dụng những bộ óc xuất sắc từ Oxford và Cambridge để cải thiện chất lượng bia.

Một trong số đó là William Sealy Gosset, một nhà hóa học và toán học tài năng. Nhiệm vụ của ông là kiểm soát chất lượng nguyên liệu đầu vào (như lúa mạch và hoa bia) và quy trình nấu bia.

Vấn đề của Gosset:

• Mẫu nhỏ: Trong thực tế sản xuất, Gosset không thể tiến hành hàng nghìn thí nghiệm. Ông thường chỉ có các tập dữ liệu rất nhỏ (ví dụ: $n = 3$ hoặc $n = 5$).
• Hạn chế của Phân phối Chuẩn (Z): Thời bấy giờ, các nhà thống kê thường sử dụng phân phối chuẩn. Tuy nhiên, phân phối chuẩn chỉ chính xác khi kích thước mẫu lớn. Với mẫu nhỏ, sai số trở nên rất lớn và các ước lượng không còn tin cậy.

2. Sự ra đời của bút danh "Student"

Gosset nhận ra rằng khi kích thước mẫu nhỏ, độ biến thiên của độ lệch chuẩn mẫu ($s$) là rất lớn, dẫn đến việc hình dáng của phân phối không còn "gầy" như phân phối chuẩn mà có phần "đuôi" dày hơn.

Năm 1908, Gosset phát triển thành công công thức cho phân phối này. Tuy nhiên, ông gặp một rào cản lớn: Chính sách bảo mật của Guinness.

Tại sao lại là "Student"?

Trước đó, một nhân viên khác của Guinness đã xuất bản các bí mật thương mại trong một bài báo khoa học. Vì vậy, Guinness cấm tất cả nhân viên xuất bản bất kỳ nghiên cứu nào, bất kể nó có liên quan đến bia hay không.

Để lách luật, Guinness cho phép Gosset xuất bản công trình của mình với điều kiện ông phải sử dụng một bút danh để đối thủ không biết rằng nhà máy đang sử dụng các phương pháp toán học cao cấp. Gosset đã chọn cái tên đơn giản là "Student".

3. Vai trò của các "Gã khổng lồ" khác

Dù Gosset là người đặt nền móng, nhưng phân phối Student có hình dáng hoàn chỉnh như ngày nay là nhờ sự giúp đỡ của hai nhà thống kê vĩ đại khác:

• Karl Pearson: Là biên tập viên của tạp chí Biometrika (nơi công bố bài báo năm 1908 của Gosset). Ông đã giúp Gosset chỉnh sửa về mặt toán học nhưng ban đầu không đánh giá cao tầm quan trọng của phát hiện này vì ông tin vào các mẫu lớn.
• Ronald A. Fisher: Đây là người đã nhận ra sự thiên tài của Gosset. Fisher đã chứng minh toán học một cách chặt chẽ cho phân phối này và đưa ra khái niệm "Bậc tự do" (Degrees of Freedom - $df$). Chính Fisher là người đã thuyết phục thế giới rằng phân phối $t$ là một cuộc cách mạng trong thống kê thực hành.

4. Tại sao Phân phối Student lại quan trọng?

Trước khi có phân phối $t$, các nhà khoa học thường gặp khó khăn khi làm việc với dữ liệu thực tế (vốn luôn có hạn chế về số lượng mẫu).

Ý nghĩa: "Đuôi dày" của phân phối Student phản ánh sự không chắc chắn cao hơn khi chúng ta có ít thông tin. Nó giúp các nhà khoa học tránh được việc đưa ra các kết luận quá tự tin khi chỉ dựa trên một vài mẫu thử.

5. Công thức toán học

Hàm mật độ xác suất của phân phối t với v bậc tự do được định nghĩa là:

Câu chuyện về Gosset là minh chứng cho việc những nhu cầu thực tế trong công nghiệp (như làm sao để nấu bia ngon hơn với chi phí rẻ hơn) có thể dẫn đến những phát kiến toán học vĩ đại thay đổi toàn bộ khoa học hiện đại.