1. MỞ ĐẦU

Trong đại số trừu tượng hiện đại, lý thuyết vành giữ vai trò trung tâm trong việc nghiên cứu cấu trúc đại số. Một trong những lớp vành quan trọng nhất là vành Noether, do Emmy Noether đề xuất, nhằm kiểm soát tính hữu hạn của các ideal.

2. ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐIỀU KIỆN TƯƠNG ĐƯƠNG

Một vành giao hoán có đơn vị R được gọi là vành Noether nếu mọi ideal của R đều là ideal hữu hạn sinh.

I = (a_1, a_2, …, a_n)

Điều kiện chuỗi tăng (ACC) phát biểu như sau:

I_1 ⊂ I_2 ⊂ I_3 ⊂ ⋯

I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = ⋯

3. VÍ DỤ VÀ PHẢN VÍ DỤ

Các ví dụ điển hình của vành Noether bao gồm:

• Trường K

• Vành số nguyên ℤ

• Vành đa thức hữu hạn biến K[x₁, x₂, …, xₙ]

Một phản ví dụ là vành đa thức vô hạn biến:

K[x_1, x_2, x_3, …]

(x_1) ⊂ (x_1, x_2) ⊂ (x_1, x_2, x_3) ⊂ ⋯

4. ĐỊNH LÝ CƠ SỞ HILBERT

Định lý cơ sở Hilbert phát biểu rằng nếu R là một vành Noether thì vành đa thức R[x] cũng là vành Noether.

5. VAI TRÒ VÀ ỨNG DỤNG

Vành Noether đóng vai trò quan trọng trong đại số giao hoán, hình học đại số và số học đại số. Nhờ tính Noether, nhiều bài toán đại số phức tạp được giảm về các cấu trúc hữu hạn, dễ nghiên cứu hơn.

6. KẾT LUẬN

Vành Noether là một khái niệm nền tảng, không thể thiếu trong chương trình đại số hiện đại. Việc nắm vững lý thuyết về vành Noether giúp sinh viên xây dựng nền tảng vững chắc cho các học phần nâng cao.