Ứng dụng của cực trị hàm hai biến trong mô tả địa hình

Trong nhiều bài toán thực tế, đặc biệt là trong địa lý và vật lý, các đại lượng phụ thuộc đồng thời vào hai biến độc lập. Khi đó, hàm hai biến trở thành công cụ tự nhiên để mô hình hóa hiện tượng, và việc nghiên cứu cực trị của hàm số giúp ta hiểu sâu hơn cấu trúc của hệ thống.

Xét một hàm số f(x,y) biểu diễn độ cao của địa hình tại điểm có tọa độ (x,y). Khi đó, các điểm cực trị của hàm số mang ý nghĩa vật lý và trực quan rõ rệt. Cụ thể, điểm cực đại của hàm tương ứng với đỉnh núi, nơi độ cao đạt giá trị lớn nhất so với các điểm lân cận; điểm cực tiểu tương ứng với thung lũng, nơi địa hình thấp nhất trong vùng xung quanh. Ngoài ra, tồn tại những điểm không phải cực đại cũng không phải cực tiểu, gọi là điểm yên ngựa, thường được liên hệ với các đèo núi, nơi địa hình cao theo một hướng nhưng lại thấp theo hướng khác.

Việc phân loại các điểm này không chỉ dựa trên cảm tính địa hình mà được thực hiện một cách chặt chẽ thông qua các công cụ giải tích. Cụ thể, các điểm cực trị của hàm số f(x,y) thường là những điểm dừng, tại đó các đạo hàm riêng bậc nhất đồng thời triệt tiêu. Để xác định bản chất của điểm dừng, người ta xét thêm các đạo hàm bậc hai, qua đó đánh giá độ cong của mặt địa hình theo các hướng khác nhau. Nếu mặt cong theo cùng một chiều trong mọi hướng, điểm dừng tương ứng với đỉnh núi hoặc thung lũng; ngược lại, nếu mặt cong theo các chiều trái ngược, điểm đó là một điểm yên ngựa.

Cách tiếp cận này có ý nghĩa quan trọng trong thực tiễn. Trong địa lý, việc nhận dạng các đỉnh núi, thung lũng hay đèo thông qua mô hình toán học giúp xây dựng bản đồ địa hình số và hỗ trợ quy hoạch giao thông, thủy lợi. Do vậy, nghiên cứu cực trị hàm hai biến không chỉ là một nội dung thuần túy của giải tích mà còn là cầu nối giữa toán học và các khoa học tự nhiên, góp phần làm sáng tỏ mối liên hệ giữa mô hình toán học và thế giới thực.

Một ví dụ minh hoạ cho nhận dạng đèo núi như sau:

Xét hàm số f(x,y) = x^2 − y^2,

trong đó f(x,y) biểu diễn độ cao của địa hình tại điểm (x,y).

Bước 1: Xác định điềm dừng ta được điểm  (0, 0).

Bước 2: Phân loại điểm dừng ta được (0, 0) là điểm yên ngựa

Vì vậy, điểm (0,0) biểu diễn một đèo núi, nơi địa hình cao theo một hướng nhưng thấp theo hướng vuông góc.