Giả sử \(X_1,...,X_n \in \mathbb{R}\) là các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối có giá trị trung bình là 0 và phương sai là 1. Đặt \[X=\frac{\sum_{i}X_i}{\sqrt{n}}\] và \(Z\sim N(0,1)\).Chứng ta muốn chặn đại lượng sau \[\Delta_n = \sup_{z}|P(X\leq z) - P(Z \leq z)|=\sup_{z}|P(X\leq z) - \Phi(z)|\] với \(\Phi\) là hàm phân phối của đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn tắt. Phương pháp Stein, đúng hơn, là tập hợp của các phương pháp dùng để chặn \(\Delta_n\) (hoặc cái đại lượng tương tự như \(\Delta_n\)). Như vậy, khi \(\Delta_n\) tiến tới 0, ta thu được định lý giới hạn trung tâm.

Ý tưởng cho phương pháp Stein nằm ở điểm sau: \[EZf(Z)=Ef'(Z) \ \ \text{ đúng với mọi hàm đủ trơn}\ \ f\ \ \text{nếu và chỉ nếu}\ \ Z \sim N(0,1).\] Điều này gợi ý răng \(X\) là "gần" phân phối chuẩn tắc nếu \(EXf(X)-Ef'(X)\) gần tới 0. Cụ thể hơn, giả sử \(h\) là một hàm số nào đó sao cho\(E|h(Z)|<\infty\). Hàm Stein \(f_h\) tương ứng với hàm \(h\) là một hàm thỏa mãn phương trình vi phân sau \[f_h'(x)-xf_h(x)=h(x)-E[h(Z)]. \qquad (1)\] Điều này dẫn tới \[E[h(X)]-E[h(Z)]=E[f_h'(X)-Xf_h(X)].\] Như vậy thay vì để chỉ ra rằng \(X\) gần với phân phối chuẩn ta chứng minh \(E[f_h'(X)-Xf_h(X)]\) là tiến tới 0. Câu hỏi đặt ra là có hàm số \(f_h\) tương ứng với hàm \(h\) hay không? Câu trả lời là có, hàm Stein được xác định như sau \[f(x)=f_h(x)=e^{x^2/2}\int_{-\infty}^{x}[h(y)-\mu]e^{-y^2/2}dy,\] ở đây \(\mu = E[h(Z)]\). Chú ý rằng nếu ta chọn \(h(z)= \mathbb{1}_{(-\infty,z]}\), chúng ta có thể viết lại phương trình (1) như sau \[P(X\leq z)-P(Z \leq z)=E[f_h'(X)-Xf_h(X)]\] Như vậy, \[\Delta_n = \sup_{z}|P(X\leq z) - P(Z \leq z)| = \sup_{h}|E[f_h'(X)-Xf_h(X)]|,\] với \(h\) có dạng \(\mathbb{1}_{(-\infty,z]}, z \in \mathbb{R}\).

Kết luận: Phương pháp Stein cho phép ta, thay vì cần đánh giá \(\Delta_n = \sup_{z}|P(X\leq z) - P(Z \leq z)|\) ta đánh giá \(\sup_{h}|E[f_h'(X)-Xf_h(X)]|\). Chú ý rằng, giá trị trước phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên chuẩn tắt \(Z\), trong khi đó giá trị sau thì không.

Tài liệu tham khảo: Sourav Chatterjee, Lecture notes: Stein's method and application.