Trong đại số và giải tích, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (cũng gọi là bất đẳng thức Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz) phát biểu rằng trị tuyệt đối của tích vô hướng của hai vector luôn nhỏ hơn hoặc bằng tích độ dài của hai vector đó. Bất đẳng thức này được coi là một trong những bất đẳng thức quan trọng và xuất hiện thường xuyên trong toán học.

Tích vô hướng của véc-tơ có thể được biểu diễn thông qua tổng hữu hạn, chuỗi hay tích phân trong không gian Hilbert nên bất đẳng thức này có thể được biểu diễn thông qua nhiều dạng khác nhau. Bất đẳng thức của dạng tổng được công bố với Augustin-Louis Cauchy vào năm 1821, phiên bản tích phân là của Viktor Yakovlevich Bunyakovsky và Hermann Schwarz lần lượt vào năm 1859 và 1888, Schwarz đưa ra chứng minh hiện đại hơn cho phiên bản tích phân này.

Phát biểu định lý

Trong phát biểu này, ta định nghĩa  là một tích vô hướng bất kì trong không gian tích trong, với ví dụ điển hình là tích vô hướng chính tắc trong không gian Euclid.

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu rằng với hai véc-tơ   và    trong không gian tích trong, ta luôn có

Lấy căn bậc hai ở hai vế ta thu được dạng quen thuộc hơn của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là

Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   và   là phụ thuộc tuyến tính.

Không gian Euclide n- chiều

Trong không gian Euclid  với tích vô hướng chính tắc , khi này bất đẳng thức C-S trở thành

Trong mặt phẳng  , ta có hai dạng dễ gặp hơn là

và

 

Không gian phức n - chiều

Nếu , ta khi này định nghĩa tích vô hướng giữa hai véc-tơ là  , bất đẳng thức C-S khi đó được phát biểu là

hay viết dưới dạng tường minh là

Chứng minh

Bất đẳng thức này rõ ràng đúng với y = 0, vì thế ta có thể giả sử <x, y> khác 0. Giả sử    là một số phức bất kỳ. Khi đó, chúng ta có bất đẳng thức chắc chắn đúng như sau:

Chọn

chúng ta được

mà bất đẳng thức trên đúng khi và chỉ khi

hay tương đương: