Việc nghiên cứu về sự ổn định theo nghĩa Ulam-Hyer-Rassias bắt đầu từ buổi nói chuyện của Ulam vào năm 1940. Trong buổi nói chuyện đó, Ulam quan tâm về sự ổn định của một đồng cấu. 

Vào năm 1941, D.H. Hyers đã đưa ra một phần câu trả lời cho vấn đề của Ulam . Vào năm 1950, T. Aoki  nghiên cứu vấn đề ổn định này cho phương trình hàm cộng tính f(x + y) = f(x) + f(y). Năm 1978, Th.M. Rassias nghiên cứu một vấn đề ổn định tương tự. Sự ổn định trong thường được gọi là ổn đinh Ulam-Hyers-Rassias.

V. Radu đã đưa ra một chứng minh rất đẹp cho sự ổn định Ulam-Hyers của phương trình hàm cộng tính Cauchy bằng cách sử dụng định lý điểm bất động. Với việc sử dụng ý tưởng của V. Radu, S.M. Jung đã chứng minh trong rằng, phương trình tích phân Volterra loại hai xác định trên đoạn hữu hạn ổn định theo nghĩa Ulam-Hyers-Rassias. Sau đó, L.P. Castro và D.A. Ramos đã nghiên cứu sự ổn của phương trình tích phân Volterra loại hai xác định trên không những cho đoạn hữu hạn mà còn trên đoạn vô hạn. Một chứng minh đơn giản cho bài toán của Jung được đưa ra  bằng cách sử dụng bổ đề Gronwall. 

Những năm gần đây, sự ổn định Ulam-Hyer-Rassias trở thành một nhánh nghiên cứu sôi nổi nhưng chủ yếu tập trung vào phương trình hàm và phương trình tích phân tất định. Như vậy, việc mở rộng sự ổn định này cho phương trình tích phân ngẫu nhiên là một hướng đáng quan tâm và được thực hiện trong đề tài đề cập ở cuối bài.

Trong đề tài đã thực hiện được những việc sau: Thành công trong việc đưa ra định nghĩa ổn định Ulam-Hyer-Rassias cho phương trình tích phân ngẫu nhiên. Đã chứng minh phương trình tích phân ngẫu nhiên dạng Volterra ổn định không những trong khoảng hữu hạn (như hầu hết các bài báo khoa học đã làm) mà còn chứng minh nó ổn định trong khoảng vô hạn. Trong đề tài cũng tìm được một ví dụ để minh họa những kết quả thu được. 

Đề tài khoa học cấp trường Đại học Duy Tân

Tên đề tài: Ổn định Ulam-Hyers-Rassias cho phương trình tích phân ngẫu nhiên Volterra không tuyến tính

Người thực hiện: ThS. Huỳnh Anh Thi

Đà Nẵng, năm 2023