Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ rất hữu hiệu để nghiên cứu và giải các bài toán ứng dụng như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, vận tải, lí thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng,...

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu bởi Hartman và Stampacchia vào năm 1966. Những nghiên cứu đầu tiên về bài toán này liên quan tới việc giải các bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên có dạng của phương trình đạo hàm riêng. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách "An introduction to variational inequalities and their application" của D.Kinderlehrer và G. Stampacchia xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách "Variational and quasivariational inequalities: Application to free boundary problem" của Baiocci và Capelo xuất bản năm 1984.

Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân đã có những bước phát triển rất mạnh và thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân là việc xây dựng các phương pháp giải. Thực tế cho thấy việc giải trực tiếp để tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân là khó khăn và không phải trường hợp nào cũng thực hiện đươc. Vì vậy các nhà toán học đã nghiên cứu và xây dựng nhiều thuật toán vô hạn để tìm nghiệm của bài toán này, tuy nhiên việc tìm ra nghiệm chính xác là khó thực hiện được. Do đó người ta thường phải lấy nghiệm xấp xỉ với độ chính xác nào đó.

Những năm gần đây việc nghiên cứu giải tích đa trị cũng phát triển mạnh, điều này giúp cho các nhà toán học có cái nhìn rộng hơn về lớp các bài toán tối ưu, trong đó có bài toán bất đẳng thức biến phân. Vì vậy việc nghiên cứu bất đẳng thức biến phân đa trị cũng có những bước phát triển mới. Nhiều phương pháp đã được đề xuất để tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị như: Phương pháp chiếu tổng quát, phương pháp siêu phẳng cắt,...

Đề tài đã đạt được mục tiêu đề ra với kết quả sau: Đề xuất thuật toán mới giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị.

Đề tài khoa học cấp trường Đại học Duy Tân

Tên đề tài: Phương pháp điểm gần kề mở rộng giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

Người thực hiện: TS. Nguyễn Đức Hiền

Đà Nẵng, năm 2023