Cho V là không gian vector n chiều và A, B là hai cơ sở trong V. Muốn tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang B, kí hiệu P(A-->B), ta cần tìm tọa độ của các vector trong cơ sở B đối với cơ sở A, sau đó viết ma trận theo quy tắc, mỗi tọa độ là một cột của ma trận theo thứ tự.

Ngược lại, muốn tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang A, kí hiệu P(B-->A), ta cần tìm tọa độ của các vector trong A đối với cơ sở B và viết ma trận theo quy tắc trên.

Ví dụ, trong không gian R2, cho hai cơ sở: A là cơ sở chính tắc và B = {b1 = (2,4); b2 = (-3,5)}. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ A sang B.

Ta tìm được các tọa độ, cụ thể là

- tọa độ của vector b1 đối với cơ sở A: (b1)A = (2,4)

- tọa độ của vector b2 đối với cơ sở B: (b2)A = (-3,5)

(Do A là cơ sở chính tắc nên tọa độ và vector trùng nhau)

Khi đó, ma trận chuyển cơ sở từ A sang B là:

P(A-->B) = 2     -3

                  4      5

Tương tự, ma trận chuyển cơ sở từ B sang A bằng cách tìm tọa độ của các vector trong A đối với cơ sở B. Kết quả là

P(B-->A) =  5/22       3/22

                   -2/11      1/11

Hai ma trận chuyển cơ sở với chiều ngược nhau có tích bằng ma trận đơn vị. Như vậy, ma trận chuyển cơ sở là ma trận vuông khả nghịch. Cấp của ma trận vuông chuyển cơ sở bằng số chiều của không gian vector.