Phép tính vi phân được phát minh một cách độc lập bởi Isaac Newton và Gottfried Leibniz. Đạo hàm cấp \(n\) với \(n\) là một số tự nhiên được hiểu là lấy đạo hàm \(n\) lần. Một câu hỏi được Leibniz đặt ra trong một bức thư của ông viết cho L’Hospital vào năm 1695 rằng nếu \(n=1/2\) thì ta phải hiểu biểu thức \(\dfrac{d^ny}{dx^n}\) như thế nào.

Giả sử ta có hàm \(f(x)=x^k\) với \(k\) là số tự nhiên. \[\dfrac{d^a}{dx^a}x^k = \dfrac{k!}{(k-a)!}x^{k-a},\] với \(a\) là một số tự nhiên. Chú ý rằng hàm giai thừa là một trường hợp đặt biệt của hàm Gamma. Cụ thể ta có \[\Gamma(n+1)=n!\] Như vậy, ta có thể viết lại biểu thức đạo hàm ở trên như sau \[\dfrac{d^a}{dx^a}x^k = \dfrac{\Gamma(k+1)}{\Gamma(k-a+1)}x^{k-a}.\] Như ta biết hàm Gamma không chỉ định nghĩa chỉ cho số tự nhiên mà còn cho cả số phức với phần thực dương bất kì. Một cách hình thức, ta có định nghĩa sau \[\dfrac{d^a}{dx^a } x^k=\dfrac{Γ(k+1)}{Γ(k-a+1)} x^{k-a}\] cho mọi \(a\) là số thực dương. Quay lại câu hỏi của tiêu đề bài viết, bằng cách dùng định nghĩa này, ta có \[\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2} } x=\dfrac{Γ(2)}{Γ(3/2)} x^{1/2}.\] Ta có \(\Gamma(2)=1\) và \(\Gamma(3/2)= \sqrt{\pi}/2\). Cuối cùng ta có \[\dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2} } x=\dfrac{2}{\sqrt{\pi}} \sqrt{x}.\]

Đối với hàm số tổng quát \(f(x)\) và \(0<\alpha<1\), một định nghĩa cho đạo hàm bậc \(\alpha\) được cho như sau \[D^\alpha f(x)=\dfrac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\dfrac{d}{dx} \int_{0}^{x}\dfrac{f(t)}{(x-t)^\alpha}dt. \] Đối với số thực \(\alpha\) bất kỳ, đạo hàm bậc \(\alpha\) được định nghĩa là lấy đạo hàm 2 lần. Trong đó, lần đầu tiên lấy đạo hàm cấp phần nguyên của giá trị \(\alpha\) và lần hai lấy đạo hàm phần lẻ của giá trị \(\alpha\). Ví dụ, \[D^{3/2} f(x)=D^{1/2} D^1 f(x)=D^{1/2} \dfrac{d}{dx} f(x)\]

Kết luận: Bài viết trên đưa ra một ví dụ để đưa đến định nghĩa cho đạo hàm bậc thập phân. Ví dụ trên xuất hiện trong một tính toán của Lacroix vào năm 1819.

Tài liệu tham khảo:

1. wikipedia.org

2. David S.A., Linares J.L., Pallone E.M.J.A, Fractional order calculus: historical appologia, basic concepts and some applications, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica, v. 33, n. 4, 4302 (2011).