- Ứng dụng trong trí tuệ nhân tạo và học máy

Một trong những lĩnh vực phát triển mạnh mẽ nhất hiện nay là trí tuệ nhân tạo (AI) và học máy (machine learning). Tại đây, ma trận được sử dụng để:

• Biểu diễn dữ liệu đầu vào: Dữ liệu như hình ảnh, âm thanh, văn bản đều có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận hoặc tensor (ma trận nhiều chiều).
• Tính toán trong mạng nơ-ron nhân tạo: Các lớp trong mạng nơ-ron hoạt động dựa trên phép nhân ma trận giữa đầu vào và trọng số, kết hợp với các hàm kích hoạt phi tuyến.
• Tối ưu hóa mô hình: Quá trình huấn luyện mô hình học máy thường bao gồm việc tính đạo hàm, đạo hàm riêng, và sử dụng các thuật toán tối ưu hóa dựa trên đại số tuyến tính.

- Ứng dụng trong xử lý ảnh và đồ họa máy tính

Ma trận là công cụ chủ đạo trong việc xử lý và biến đổi hình ảnh:

• Biểu diễn ảnh số: Ảnh xám được lưu dưới dạng ma trận hai chiều, ảnh màu là tập hợp các ma trận ba chiều (RGB).
• Biến đổi hình học: Các phép biến đổi như tịnh tiến, quay, co giãn, phản xạ trong đồ họa máy tính đều có thể biểu diễn bằng ma trận và thực hiện qua phép nhân ma trận với vectơ tọa độ.
• Lọc ảnh: Các bộ lọc như làm mờ (blur), sắc nét (sharpen), phát hiện biên (edge detection) sử dụng tích chập giữa ma trận ảnh và mặt nạ lọc (kernel).

- Ứng dụng trong mật mã học

Trong mật mã học, ma trận được dùng để mã hóa và giải mã thông tin:

• Mã hóa Hill: Đây là một trong những phương pháp mã hóa cổ điển sử dụng phép nhân ma trận để biến đổi bản rõ thành bản mã.
• Tính khả nghịch của ma trận: Yêu cầu then chốt trong mã hóa là ma trận khóa phải khả nghịch (tồn tại ma trận nghịch đảo), đảm bảo thông tin có thể được giải mã chính xác.
• Mật mã hiện đại: Trong các thuật toán như AES, RSA, mặc dù không trực tiếp sử dụng ma trận ở bề nổi, nhưng các thao tác nội tại lại liên quan đến các khái niệm đại số tuyến tính, đặc biệt là trong các biến đổi không gian con.

- Ứng dụng trong cơ sở dữ liệu và tìm kiếm

Ma trận còn xuất hiện trong lĩnh vực truy xuất thông tin và cơ sở dữ liệu:

• Biểu diễn mối quan hệ: Ma trận quan hệ hoặc ma trận kề được dùng để mô hình hóa các liên kết giữa thực thể trong hệ thống cơ sở dữ liệu hoặc mạng xã hội.
• Truy xuất văn bản: Trong mô hình không gian vectơ (Vector Space Model), mỗi tài liệu được biểu diễn bằng một vectơ trong không gian đặc trưng. Việc tìm kiếm và xếp hạng tài liệu liên quan sử dụng các phép toán trên ma trận, chẳng hạn như tính tích vô hướng (cosine similarity).
• Giảm chiều dữ liệu: Kỹ thuật phân tích thành phần chính (PCA) và phân rã giá trị riêng (SVD) đều sử dụng các thao tác ma trận để nén dữ liệu, giảm nhiễu và trích xuất đặc trưng quan trọng.