Tập Compact
Trong toán học, đặc biệt là tô pô, một tập là tập compact khi và chỉ khi tập đó chứa mọi điểm giới hạn của nó, là tổng quát khái niệm tập đóng và bị chặn của không gian Euclid.[1] Lấy ví dụ, khoảng mở không phải một tập compact bởi nó không chứa hai điểm giới hạn là 0 và 1, trong khi đoạn đóng là tập compact. Theo đó, tập số hữu tỉ không compact do có vô số "khoảng trống" là các số vô tỉ, đường thẳng thực cũng không compact do không chứa hai điểm là và .
không phải một tập compact bởi nó không chứa hai điểm giới hạn là 0 và 1, trong khi đoạn đóng ![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
là tập compact. Theo đó, tập 
không compact do có vô số "khoảng trống" là các 
cũng không compact do không chứa hai điểm là 
và 
.Định nghĩa
Xét là một tập hợp con của một không gian tô-pô . được gọi là một tập con compact của nếu điều kiện sau được thỏa mãn: nếu và với là các tập con mở của , thì tồn tại một tập con hữu hạn sao cho (nghĩa là với mọi phủ mở của , có một phủ hữu hạn các tập mở bao hàm nó). Ngắn gọn, là một tập con compact khi và chỉ khi "mọi phủ mở đều có phủ con hữu hạn".[2]
là một tập hợp con của một 
. 
và với 
là các 
sao cho 
(nghĩa là với mọi Một không gian tô-pô được gọi là compact nếu tập con tầm thường là một tập con compact.
là một tập con compact.Không gian con compact
Cho là không gian con của không gian tô pô . Cho là tập chỉ số của một phủ mở của . Với mỗi là chỉ số của một tập mở của , thì ta có mở trong sao cho . Vì vậy, ta có họ các tập mở của mà có hội chứa . Nói cách khác, nếu có một họ các tập mở trong có hội chứa , thì họ là một phủ mở của . Do đó, là không gian con compact của nếu cho họ là họ các tập mở bất kì có phần hội chứa , thì tồn tại và sao cho có hội chứa . Vì vậy, ta có thể định nghĩa không gian con của là compact qua hai cách: dùng họ phủ mở của hoặc họ các tập mở trong có hội chứa .
là không gian con của 
là tập chỉ số của một 
là chỉ số của một tập mở của 
mở trong 
. Vì vậy, ta có họ các tập mở 
của 
là một phủ mở của 
là họ các tập mở bất kì có phần hội chứa 
sao cho 
có hội chứa Nói cách khác, một tập con là compact khi và chỉ khi nó là một không gian con compact với tô-pô cảm sinh.
Ví dụ
- Khoảng đóng dưới topo Euclide là compact, điều này được suy ra từ định lý Heine - Borel. Khoảng mở thì không compact vì ta có họ phủ mở
![{\displaystyle \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57121c2b6c63c0b2f38eb96b1f7a543b5d1c522)
dưới topo Euclide là compact, điều này được suy ra từ 
thì không compact vì ta có họ phủ mở
là phủ nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn.
- với topo Euclide là không compact vì ta có họ phủ mở phủ nhưng không trích ra được phủ con hữu hạn. Ta cũng có thể kết luận điều này vì đồng phôi với với topo Euclide nhưng không compact, dẫn đến không compact.
- Tập Cantor là compact dưới topo Euclide.
- Cho là tập hợp các hàm số thỏa điều kiện Lipschitz: tồn tại sao cho thì
phủ 
là tập hợp các hàm số ![{\displaystyle f:\,\left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e431c872f7f82138975bd717ad927779219167c5)
thỏa 
sao cho 
thì- .
![{\displaystyle \left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|\leq C\left|x-y\right|,\quad \forall x,y\in \left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c910af5231c8dc719eae900ddd53cce765b98afc)
.Ta có là không gian metric với metric định bởi
![{\displaystyle d\left(f,g\right)=\sup _{x\in \left[0,1\right]}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d3c6338c2821235af388562fe52cdcf2e1b478)
là không gian compact.
