QUY TẮC GIẢI TOÁN

Không có công thức thần kỳ nào đảm bảo thành công trong việc giải mọi bài toán. Tuy nhiên, chúng ta có thể phác thảo một quy trình chung và đưa ra một số nguyên tắc cơ bản để hướng dẫn việc giải toán. Quy trình và các nguyên tắc này sẽ hữu ích hơn khi áp dụng vào từng tình huống cụ thể. Bạn có thể tham khảo thêm về chúng trong cuốn sách "Giải toán như thế nào" của George Polya.

Bước đầu tiên là đọc bài toán và đảm bảo là bạn hiểu nó rõ ràng. Tự hỏi bản thân các câu hỏi sau đây:

Cái gì chưa biết?

Những đại lượng nào đã biết?

Điều kiện bài toán cho gì?

Đối với nhiều bài toán, sẽ rất  ích nếu ta vẽ biểu đồ và xác định các đại lượng mà bìa toán cho và yêu cầu trên biểu đồ đó.

Cũng rất cần thiết phải đưa ra các ký hiệu thích hợp. Khi chọn ký hiệu cho các đại lượng chưa biết, chúng ta thường sử dụng các chữ cái như a, b, c, m, n, x, y, tuy nhiên trong một số trường hợp, chúng ta nên sử dụng các chữ cái đầu tiên để ký hiệu cho các đại lượng vốn hay gặp, chẳng hạn như V ký hiệu cho thể tích hay t ký hiệu cho thời gian.

Để giải quyết một bài toán, điều quan trọng là bạn phải tìm ra mối liên hệ giữa những thông tin đã biết và những thông tin chưa biết. Hãy tự hỏi mình: "Mối quan hệ giữa những cái đã biết và những cái chưa biết là gì?". Nếu bạn chưa tìm ra ngay được mối liên hệ nào, hãy thử suy nghĩ thêm. Những suy nghĩ này sẽ giúp bạn xây dựng một kế hoạch giải quyết bài toán.

Cố gắng nhận ra điểm gì đó quen thuộc: Liên hệ tình huống đã cho với kiến thức trước đó. Nhìn vào đại lượng cần tìm và cố gắng nhớ lại một bài toán quen thuộc có tìm một đại lượng tương tự.

Cố gắng nhận ra dạng toán: Một số bài toán được giải bằng cách nhận ra dạng toán. Đó có thể là dạng toán hình học, số học hoặc đại số. Nếu bạn thấy có tính thường xuyên hay lặp lại trong một bài toán, bạn sẽ có thể đoán được bài toán đang giải có dạng gì và sau đó tìm cách chứng minh nó.

Sử dụng sự tương đồng: Cố gắng nghĩ về một bài toán tương tự, tức là, một bài toán liên quan, nhưng đơn giản hơn bài toán đang giải. Nếu bạn có thể giải bài toán tương tự và đơn giản hơn đó, thì có thể bạn sẽ có gợi ý để giải bài toán gốc vốn khó hơn. Lấy ví dụ, nếu bạn giải bài toán liên quan đến nhiều số lớn, bạn có thể thử giải bài toán tương tự với các con số nhỏ hơn. Hoặc nếu bài toán liên quan đến hình học không gian ba chiều, thì bạn có thể tìm một bài toán tương tự về hình không gian hai chiều. Hoặc nếu bài toán có dạng chung chung, thì bạn có thể thử bằng một trường hợp đặc biệt.

Thêm vào cái gì đó: Đôi khi cần thiết phải đưa ra một điều gì đó mới, một sự bổ sung, nhằm liên kết các thông tin đã cho và các thông tin chưa biết. Ví dụ, đối với một bài toán về biểu đồ, chúng ta có thể thêm một đường thẳng mới vào biểu đồ đó. Đối với bài toán có tính chất đại số, chúng ta có thể thêm vào một đại lượng mới chưa biết để tạo mối liên quan với đại lượng cần tìm.

Chia trường hợp: Khi gặp bài toán phức tạp, ta thường chia nhỏ nó thành các trường hợp đơn giản hơn, rồi giải từng trường hợp một. Ví dụ, với bài toán có dấu giá trị tuyệt đối, ta thường phải xét nhiều trường hợp khác nhau.

Tính ngược lại: Đôi khi ta giả sử bài toán đã giải xong và tìm cách ngược dòng trở lại để tìm ra lời giải. Phương pháp này rất hữu ích trong việc giải phương trình. Ví dụ, khi giải phương trình 3x - 5 = 7, ta có thể giả sử x đã biết rồi, sau đó thực hiện các phép tính ngược lại để tìm x.

Lập các mục tiêu phụ: Với bài toán phức tạp, ta chia nhỏ nó thành các mục tiêu nhỏ hơn, dễ giải quyết hơn. Sau khi giải quyết xong các mục tiêu nhỏ, ta sẽ kết hợp chúng lại để giải quyết bài toán lớn.

Lý luận gián tiếp: Thay vì chứng minh trực tiếp, ta có thể giả sử điều ngược lại và tìm ra mâu thuẫn. Điều này sẽ giúp ta khẳng định điều mình muốn chứng minh là đúng.

Quy nạp toán học: Để chứng minh các phát biểu liên quan đến số nguyên dương n, chúng ta thường sử dụng nguyên tắc sau:

Nguyên lý quy nạp toán học: Cho S(n) là một phát biểu về số nguyên dương n. Giả sử rằng:

1. S(1) đúng.
2. S(k+1) đúng khi S(k) đúng.

Khi đó S(n) đúng với tất cả các số nguyên dương n.

Việc S(n)​ đúng với n=1 là hợp lý vì nó thỏa mãn điều kiện 2. Khi đó, sử dụng liên tiếp điều kiện 2, lần thứ nhất với k=1 ta thấy S(2)​ đúng, lần thứ hai với k=2 ta thấy S(3)​ đúng. Quy trình này có thể cứ thế tiếp tục mãi.

Bước tiếp theo là lập kế hoạch. Để thực hiện kế hoạch này, ta phải kiểm tra từng bước trong kế hoạch và viết một cách chi tiết để chứng minh từng bước đó là đúng.

Để hoàn thành bài giải, ta cần xem lại nó, một phần là để xem mình có mắc lỗi gì trong phần giải hay không. Ngoài ra, việc làm lại bài giải sẽ giúp ta ghi nhớ cách giải khác và điều này sẽ rất có ích cho ta khi giải các bài toán khác trong tương lai. Descartes từng nói rằng: “Mỗi bài toán tôi giải đều trở thành một quy tắc giúp tôi giải các bài toán khác sau này.”

Chúng tôi minh họa các quy tắc giải toán trong những ví dụ sau đây. Trước khi xem phần đáp án, bạn hãy cố gắng tự mình giải các bài toán này, sử dụng Các quy tắc giải toán nếu bạn gặp khó khăn. Bạn sẽ thấy phần này rất có ích khi giải các bài tập còn lại trong các chương sau của cuốn sách này.