Phép tiệm cận chuẩn cho phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn thường được sử dụng để giải quyết các vấn đề liên quan đến phân phối nhị thức vì n lớn (từ 100) thì việc tính toán bằng cách sử dụng phân phối nhị thức khá khó khăn. Nhắc lại các đặc điểm của phân phối nhị thức:

+ Số các phép thử phải cố định, tức n không đổi.

+ Trong mỗi phép thử ta chỉ quan tâm đến sự xuất hiện của một biến cố A nào đó với xác suất P(A) = p (hoặc A không xuất hiện với xác suất q = 1 − p).

+ Các kết quả của mỗi phép thử phải độc lập nhau.

+ Xác suất của biến cố A xảy ra trong mỗi phép thử là không đổi.

Đồng thời nhớ lại rằng phân bố nhị thức được xác định bởi n (số lần thử nghiệm) và p (xác suất thành công). Khi p xấp xỉ 0, 5 và khi n đủ lớn thì hình dạng của sự phân bố nhị thức sẽ trở nên tương tự như hình dạng của một phân bố chuẩn.

Nhưng khi p gần 0 hoặc 1 và n là tương đối nhỏ thì một tiệm cận chuẩn là không chính xác. Theo nguyên tắc chung, các nhà thống kê thường đồng ý rằng chỉ nên sử dụng một phép tiệm cận chuẩn khi n.p và n.q lớn hơn hoặc bằng 5. Ngoài điều kiện này thì sự điều chỉnh tính liên tục có thể được sử dụng trong tiệm cận phân phối chuẩn.

Định nghĩa: Điều chỉnh tính liên tục là một sự điều chỉnh được áp dụng khi phân phối liên tục được sử dụng để xấp xỉ một phân bố rời rạc.

Sự điều chỉnh tính liên tục có nghĩa là với bất kì giá trị cụ thể nào của X (chẳng hạn X = 8) thì các cận biên của X trong phân phối nhị thức phải được sử dụng (trong trường hợp này là từ 7, 5 đến 8, 5). Do đó, khi sử dụng một phân phối chuẩn để ước lượng cho phân phối nhị thức thì các cận biên của bất kì giá trị cụ thể nào của X phải được sử dụng. Chẳng hạn, đối với P(X = 8) thì ta hiệu chỉnh thành P(7, 5 < X < 8, 5), hay đối với P(X ≤ 7) thì ta hiệu chỉnh thành P(X < 7, 5).

Nói tóm lại qui trình của sự điều chỉnh tính liên tục là việc cộng thêm hay trừ bớt 0,5 trong việc điều chỉnh các giá trị của X cho phân phối nhị thức đối với các giá trị cho việc ước lượng tiệm cận phân phối chuẩn. Một số trường hợp cụ thể được thể hiện như sau:

    Phân phối nhị thức                      Phân phối chuẩn

    1. P(X = a)                                   P(a − 0, 5 < X < a + 0, 5)

    2. P(X ≥ a)                                    P(X > a − 0, 5)

    3. P(X > a)                                   P(X > a + 0, 5)

    4. P(X ≤ a)                                    P(X < a + 0, 5)

    5. P(X < a)                                   P(X < a − 0, 5)

Quy trình sử dụng phân bố chuẩn để ước lượng phân phối nhị thức

. Bước 1: Kiểm tra xem liệu có thể sử dụng tiệm cận chuẩn hay không.

. Bước 2: Tìm trung bình μ và độ lệch chuẩn σ.

. Bước 3: Viết yêu cầu của đề dưới dạng kí hiệu xác suất, sử dụng biến X.

. Bước 4: Viết lại yêu cầu bằng cách sử dụng yếu tố hiệu chỉnh liên tục và biểu diễn diện tích tương ứng dưới sự phân phối chuẩn.

. Bước 5: Tìm các giá trị z tương ứng.

. Bước 6: Giải quyết bài toán và kết luận.