Lý thuyết Kermack

Lý thuyết Kermack–McKendrick

Lý thuyết Kermack–McKendrick là một giả thuyết dự đoán số lượng và sự phân bố các trường hợp mắc bệnh truyền nhiễm gây miễn dịch theo thời gian khi bệnh lây lan trong một quần thể dựa trên các đặc điểm về khả năng lây nhiễm và phục hồi, với giả định về sự pha trộn mạnh. Dựa trên nghiên cứu của Ronald Ross và Hilda Hudson , AG McKendrick và WO Kermack đã công bố lý thuyết của họ trong một loạt ba bài báo vào năm 1927, 1932 và 1933. Lý thuyết Kermack–McKendrick là một trong những nguồn gốc của mô hình SIR và các mô hình phân vùng liên quan khác . Lý thuyết này là lý thuyết đầu tiên giải thích rõ ràng sự phụ thuộc của các đặc điểm nhiễm trùng và khả năng lây truyền vào độ tuổi nhiễm bệnh. Do tầm quan trọng tiên phong của chúng đối với lĩnh vực dịch tễ học lý thuyết, các bài báo này đã được tái bản trong Bulletin of Mathematical Biology vào năm 1991.

MÔ HÌNH DỊCH BỆNH (1927)

Ở dạng ban đầu, lý thuyết Kermack–McKendrick là một mô hình phương trình vi phân từng phần, cấu trúc quần thể người nhiễm bệnh dựa trên độ tuổi nhiễm bệnh, đồng thời sử dụng các ngăn đơn giản cho những người dễ mắc bệnh (S), người nhiễm bệnh (I) và người đã khỏi bệnh/được loại bỏ (R). Các điều kiện ban đầu được xác định sẽ thay đổi theo thời gian theo

{\frac {dS}{dt}}=-\lambda S,

{\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda S-\gamma (a)i,

I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da,

{\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da,

Ở đây $\delta (a)$ là hàm delta Dirac và áp suất nhiễm trùng

\lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.

Công thức này tương đương với việc xác định tỷ lệ mắc bệnh nhiễm trùng $i(t,0)=\lambda S$ Chỉ trong trường hợp đặc biệt khi tỷ lệ loại bỏ $\gamma (a)$ và tỷ lệ lây truyền $\beta (a)$ . Liệu các yếu tố này có không đổi ở mọi lứa tuổi hay không? Có thể diễn tả động lực dịch bệnh bằng tỷ lệ mắc bệnh $I(t)$ . Điều này dẫn đến mô hình SIR phân vùng tiêu chuẩn . Mô hình này chỉ tính đến các sự kiện lây nhiễm và loại bỏ, đủ để mô tả một dịch bệnh đơn giản, bao gồm cả điều kiện ngưỡng cần thiết để dịch bệnh bắt đầu, nhưng không thể giải thích sự lây truyền bệnh đặc hữu hoặc dịch bệnh tái phát.

BỆNH ĐẶC HỮU (1932, 1933)

Trong các bài báo tiếp theo, Kermack và McKendrick đã mở rộng lý thuyết của họ để bao gồm cả sự sinh nở, di cư và tử vong, cũng như khả năng miễn dịch không hoàn hảo. Theo ký hiệu hiện đại, mô hình của họ có thể được biểu diễn như sau:

{\frac {dS}{dt}}=b_{0}+b_{S}S+b_{I}I+b_{R}R-\lambda S-m_{S}S,

{\frac {\partial i}{\partial t}}+{\frac {\partial i}{\partial a}}=\delta (a)\lambda (S+\sigma R)-\gamma (a)i-\mu (a)i-m_{i}(a)i,

I(t)=\int _{0}^{\infty }i(a,t)\,da

{\frac {dR}{dt}}=\int _{0}^{\infty }\gamma (a)i(a,t)\,da-\sigma \lambda R-m_{R}R,

Ở đây $b_{0}$ là tỷ lệ nhập cư của những người dễ mắc bệnh, b _j là tỷ lệ sinh bình quân đầu người của bang j , m _j là tỷ lệ tử vong bình quân đầu người của các cá nhân ở bang j . $\sigma$ là nguy cơ nhiễm bệnh tương đối đối với những người đã khỏi bệnh và có khả năng miễn dịch một phần, và áp lực lây nhiễm.

\lambda =\int _{0}^{\infty }\beta (a)i(a,t)\,da.

Kermack và McKendrick đã chứng minh được rằng mô hình này có nghiệm ổn định khi bệnh dịch lưu hành, miễn là nguồn cung cấp cá thể dễ mắc bệnh đủ lớn. Mô hình này khó phân tích một cách tổng quát, và vẫn còn nhiều câu hỏi chưa được giải đáp liên quan đến động lực học của nó.

KẾT LUẬN

Gần một thế kỷ sau khi được công bố, bài báo của Kermack và McKendrick vẫn được xem là viên đá nền của dịch tễ học toán học. Công trình này đã biến việc nghiên cứu dịch bệnh từ một lĩnh vực chủ yếu dựa trên quan sát trở thành một ngành khoa học định lượng có khả năng dự báo và phân tích.

Giá trị lớn nhất của bài báo không nằm ở một công thức riêng lẻ mà ở cách tư duy mà nó mở ra: những hiện tượng xã hội và sinh học phức tạp có thể được hiểu sâu sắc hơn thông qua các mô hình toán học thích hợp. Chính tư duy ấy đã giúp nhân loại xây dựng các công cụ dự báo dịch bệnh hiện đại và ứng phó hiệu quả hơn với các thách thức y tế toàn cầu.

Ngày nay, khi nhìn lại công trình năm 1927, chúng ta không chỉ thấy lịch sử của dịch tễ học mà còn thấy sức mạnh đặc biệt của toán học trong việc khám phá những quy luật ẩn sau thế giới thực. Liệu còn bao nhiêu hiện tượng phức tạp khác trong xã hội, sinh học hay kinh tế đang chờ được giải thích bằng những mô hình đơn giản nhưng sâu sắc như Kermack và McKendrick đã từng làm? Đó có lẽ vẫn là nguồn cảm hứng bất tận cho các thế hệ nhà nghiên cứu tương lai.