Lịch sử và vai trò của bài toán chia tiền thưởng trong xác suất

Một trong những bước ngoặt khai sinh ra ngành xác suất học là bài toán nổi tiếng mang tên “bài toán chia tiền thưởng” (problème des partis). Xuất hiện từ thế kỷ XVII, bài toán này đặt ra câu hỏi: Hai người chơi một trò chơi ăn thua bằng tiền; nếu trò chơi bị gián đoạn trước khi có người thắng cuộc, thì làm sao để chia phần tiền thưởng một cách công bằng, dựa trên tỉ lệ số ván thắng mà mỗi người đã đạt được?

Bài toán tưởng chừng đơn giản này đã gây ra tranh cãi trong giới toán học thời bấy giờ. Vào năm 1654, nhà quý tộc và toán học nghiệp dư Chevalier de Méré đã đưa bài toán này đến Blaise Pascal. Cùng với Pierre de Fermat, hai nhà toán học đã trao đổi thư từ để đi đến lời giải chính xác đầu tiên. Cuộc trao đổi này được xem là khởi nguồn của lý thuyết xác suất hiện đại. Thay vì xét theo trực giác hay nguyên tắc “cân bằng số ván”, Pascal và Fermat đã đưa ra phương pháp liệt kê các khả năng xảy ra trong tương lai (theo cây nhị phân) và tính xác suất mỗi trường hợp, từ đó đưa ra quy tắc chia tiền dựa trên kỳ vọng toán học – một khái niệm nền tảng của xác suất sau này.

Không chỉ là một bài toán ngẫu nhiên mang tính lịch sử, bài toán chia tiền thưởng đã đặt nền móng cho việc định nghĩa kỳ vọng toán học, xây dựng tư duy xác suất theo tổ hợp và phân tích khả năng xảy ra của các sự kiện độc lập. Qua thời gian, từ tư duy đơn giản trong trò chơi may rủi, bài toán này đã mở đường cho hàng loạt ứng dụng: từ đánh giá rủi ro tài chính, bảo hiểm, đến mô hình ra quyết định trong kinh tế và trí tuệ nhân tạo.

Về mặt triết lý toán học, bài toán chia tiền cũng đặt ra câu hỏi về tính công bằng và định lượng sự không chắc chắn, hai khái niệm sâu sắc vẫn còn được nghiên cứu cho đến ngày nay trong các lĩnh vực như lý thuyết trò chơi, thống kê Bayes và phân tích quyết định.

1. Mô hình hóa bài toán chia tiền thưởng

Giả sử có hai người chơi, A và B, thi đấu một chuỗi trò chơi (ví dụ, ném đồng xu, oẳn tù tì…), ai thắng trước n ván thì chiến thắng toàn bộ. Khi trò chơi bị gián đoạn, A đang có a ván thắng, B có b ván thắng, và tổng số ván cần thắng là n.

Giả sử mỗi ván còn lại có xác suất thắng là 1/2​ cho mỗi người (trường hợp cân bằng). Câu hỏi: phần thưởng nên chia cho A và B theo tỷ lệ nào?

2. Cách tiếp cận Pascal–Fermat: Tổ hợp và liệt kê khả năng

Phương pháp của Pascal–Fermat là:

• Xác định số ván tối đa còn lại cần chơi để một trong hai người có thể thắng.

• Liệt kê toàn bộ các chuỗi kết quả có thể xảy ra từ thời điểm hiện tại đến khi trò chơi kết thúc.

• Đếm số chuỗi mà A sẽ thắng và số chuỗi mà B sẽ thắng.

• Tính xác suất mỗi người thắng bằng tỉ lệ số chuỗi họ chiến thắng so với tổng số chuỗi hợp lệ.

• Chia tiền thưởng theo các xác suất này

3. Kỳ vọng toán học (Expected Value)

Cách tiếp cận hiện đại sử dụng khái niệm kỳ vọng:

Ký hiệu E(a,b) là phần thưởng kỳ vọng của A khi anh ta có a ván thắng, và B có b ván thắng.

• Nếu a = n: A đã thắng → E(a,b) = 1

• Nếu b = n: B đã thắng → E(a,b) = 0

• Nếu chưa ai thắng: E(a,b) = 1/2 E(a+1,b) + 1/2E(a,b+1) 

Ta có thể dùng quy hoạch động (dynamic programming) hoặc đệ quy để tính các giá trị E(a,b) theo công thức trên.

Phần thưởng A nhận là  E(a, b) * Tổng tiền thưởng.