Hàm sản xuất của Cobb-Douglas và các đạo hàm riêng của nó

1. Vào năm 1928, Charles Cobb và Paul Douglas đã xuất bản một nghiên cứu mà trong đó họ mô hình hóa sự tăng trưởng của nền kinh tế Mỹ trong giai đoạn 1899–1922. Họ đã xem xét một quan điểm kinh tế được đơn giản hóa mà trong đó sản lượng được quyết định bởi lượng nhân công và lượng vốn đầu tư. Mặc dù có nhiều yếu tố khác ảnh hưởng đến hiệu quả kinh tế nhưng mô hình của họ đã chứng tỏ là rất chính xác. Hàm số mà họ sử dụng để mô hình hóa sự sản xuất có dạng

P(L, K) = b.L^alpha.K^(1 - alpha)

trong đó P là tổng sản lượng (giá trị quy ra tiền của tất cả hàng hóa được sản xuất trong một năm), L là lượng nhân công (tổng số giờ làm việc của công nhân trong một năm) và K là lượng vốn đầu tư (trị giá của tất cả máy móc, thiết bị và nhà xưởng). Trong Mục 2, chúng ta sẽ tìm hiểu làm thế nào suy ra dạng thức của Phương trình 1 từ các giả định kinh tế nào đó.

Cobb và Douglas đã sử dụng các dữ liệu kinh tế được phát hành bởi chính phủ để có được Bảng sau. Họ lấy năm 1899 làm số liệu mốc và mỗi đại lượng P, L và K vào năm 1899 được ấn định giá trị 100. Các giá trị của các năm khác được tính theo tỷ lệ phần trăm của số liệu năm 1899.

Cobb và Douglas đã sử dụng phương pháp bình phương bé nhất để làm cho dữ liệu của Bảng 2 phù hợp với hàm số

P(L, K) = 1,01.L^0,75.K^0,25

2. Trong phần 1, chúng tôi đã mô tả nghiên cứu của Cobb và Douglas mà trong đó họ đã mô hình hóa tổng sản lượng P của một hệ thống kinh tế như một hàm theo lượng nhân công L và vốn đầu tư K. Ở đây, chúng ta sử dụng đạo hàm riêng để chỉ cho các bạn thấy làm thế nào suy ra dạng cụ thể của mô hình từ các giả định về kinh tế mà họ đã đặt ra.