- Như chúng ta đã biết, đối với hàm bậc hàm y = a x² + b x + c  (với a khác 0). Nếu a > 0 thì hàm bậc hai y sẽ đạt cực tiểu tại x = -b/2a  và nếu a < 0 thì hàm bậc hai sẽ đạt cực đại tại x = -b/2a.

Bây giờ chúng ta sẽ dùng tính chất này của hàm bậc hai để giải quyết bài toán tối ưu hoá lợi nhuận. 

Bài toán: Một nhà máy sản xuất băng đĩa với chi phí 2 USD/đĩa. Họ đã ước tính rằng, nếu bán đĩa với giá 8 USD/đĩa thì mỗi tháng nhà máy sẽ bán được 4,000 đĩa. Nhà sản xuất dự định tăng giá bán và họ ước tính rằng, cứ mỗi 1 USD tăng lên trong giá bán thì mỗi tháng sẽ bán ít hơn 200 đĩa.Tìm giá bán để lợi nhuận của nhà sản xuất lớn nhất và tìm lợi nhuận lớn nhất tương ứng.

Cách giải quyết: Mục đích của bài toán là tối ưu hoá hàm lợi nhuận. 

-  Gọi x là giá bán mới của mỗi đĩa (x > 8 ). 

 Ta có: giá bán cũ là 8 USD, nên số tiền tăng thêm trong giá bán là (x - 8)

 Theo đề cứ tăng 1 USD trong giá bán thì số lượng bán ra sẽ giảm 200 đĩa; 

           nên   tăng (x - 8) USD trong giá bán thì số lượng bán ra sẽ giảm 200 (x - 8) đĩa

 Do đó, số lượng đĩa bán ra sau khi tăng giá là: 4,000 - 200 (x-8) = 5,600 - 200 x

 Vậy hàm lợi nhuận là: 

    P = (giá bán mỗi đĩa - chi phí mỗi đĩa) * số đĩa bán ra

       = (x - 2) *(5,600 - 200 x) 

       = - 200 x² + 6,000 x - 11,200    

Vì P là hàm bậc hai có a = -200 < 0 , nên P sẽ đạt cực đại tại x = - b/2a = - 6,000 / 2 (-200) = 15

Vậy giá bán để lợi nhuận lớn nhất là 15 USD và lợi nhuận lớn nhất là : P(15) = 1,143,800 USD