Năm 1925, Ernst Ising, một nhà vật lý người Đức, đã giải bài toán mô hình Ising một chiều trong luận án tiến sĩ của mình dưới sự hướng dẫn của Wilhelm Lenz. Mặc dù mô hình một chiều không thể hiện rõ sự chuyển pha, nhưng công trình này đã đặt nền móng cho một trong những mô hình quan trọng nhất trong vật lý thống kê. Nhân dịp kỷ niệm 100 năm sự kiện này, chúng ta cùng nhìn lại tầm quan trọng của độ đo Ising và những phát triển xung quanh nó.

1. Mô hình Ising và sự phát triển ban đầu

Mô hình Ising mô tả một hệ gồm các spin \(\sigma_i = \pm 1\) tương tác với nhau trên một mạng lưới. Hamiltonian của hệ có dạng:

\[
H = -J \sum_{\langle i, j \rangle} \sigma_i \sigma_j - h \sum_i \sigma_i
\]

trong đó:

• \(J\) là hệ số tương tác giữa các spin lân cận (\(J > 0\) cho tương tác sắt từ, \(J < 0\) cho tương tác phản sắt từ),
• \(h\) là từ trường ngoài,
• \(\langle i, j \rangle\) biểu thị tổng trên các cặp spin lân cận.

Sau khi Ising chứng minh rằng mô hình một chiều không có chuyển pha từ tính ở nhiệt độ hữu hạn, người ta đã cho rằng mô hình Ising không thể hiện hiện tượng chuyển pha. Tuy nhiên, năm 1944, Lars Onsager đã thành công trong việc giải chính xác mô hình Ising hai chiều không có từ trường ngoài, chứng minh sự tồn tại của một chuyển pha nhiệt động học.

2. Độ đo Ising và các mở rộng

Độ đo Ising là một khái niệm trong xác suất thống kê liên quan đến phân bố Gibbs của mô hình. Xét phân bố xác suất của một cấu hình spin:

\[
\mu(\sigma) = \frac{1}{Z} e^{-\beta H(\sigma)}
\]

trong đó \(\beta = \frac{1}{k_B T}\) là nghịch đảo nhiệt độ, và \(Z\) là hàm sinh:

\[
Z = \sum_{\{\sigma\}} e^{-\beta H(\sigma)}
\]

Khi nghiên cứu mô hình Ising trên mạng vô hạn, người ta quan tâm đến giới hạn nhiệt động (\(N \to \infty\)) của phân bố Gibbs. Khi \(T > T_c\)​, tồn tại duy nhất một độ đo Gibbs, nhưng khi \(T < T_c\), có hai độ đo Gibbs đối xứng, tương ứng với các trạng thái từ hóa dương và âm.

2.1. Độ đo Gibbs và độ đo cực đại

Các độ đo Gibbs mô tả trạng thái cân bằng nhiệt động của mô hình. Trong trường hợp hai chiều, hai độ đo cực đại (extremal measures) xuất hiện khi \(T < T_c\)​, cho thấy hệ có hai trạng thái ổn định. Ở nhiệt độ cao hơn, chỉ có một trạng thái duy nhất, phản ánh tính chất của pha lỏng từ.

2.2. Độ đo Ising trong vật lý toán

Trong toán học, độ đo Ising có liên hệ mật thiết với các bài toán lý thuyết xác suất, đặc biệt là lý thuyết quá trình Markov và bài toán trộn trộn (mixing). Một câu hỏi quan trọng là tốc độ hội tụ của động lực Glauber (Glauber dynamics) tới độ đo Gibbs của mô hình Ising, với ứng dụng quan trọng trong mô phỏng Monte Carlo.

3. Ứng dụng hiện đại của mô hình Ising

Mô hình Ising và độ đo Ising không chỉ có ý nghĩa trong vật lý lý thuyết mà còn được áp dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác:

• Mạng nơ-ron và học máy: Mô hình Hopfield, một mạng nơ-ron liên kết, có liên hệ chặt chẽ với mô hình Ising.
• Tối ưu hóa tổ hợp: Thuật toán mô phỏng tôi luyện (simulated annealing) dựa trên nguyên lý động lực học Ising.
• Khoa học dữ liệu và kinh tế học: Các hệ thống có tương tác nhiều phần tử như thị trường tài chính cũng có thể được mô tả bằng mô hình Ising.

4. Kết luận

100 năm sau công trình của Ising, mô hình này vẫn là một trong những công cụ quan trọng trong vật lý thống kê và toán học ứng dụng. Từ những nghiên cứu ban đầu về sự chuyển pha trong hệ từ, ngày nay mô hình Ising đã trở thành một khung lý thuyết phổ quát với nhiều ứng dụng liên ngành. Việc nghiên cứu độ đo Ising tiếp tục mở ra những hướng đi mới trong cả lý thuyết và thực tiễn, góp phần quan trọng vào sự phát triển của khoa học hiện đại.