Định lý con bướm

Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Chứng minh

Gọi X′ và X″ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi Y′ và Y″ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

△MXX′∼△MYY′

MXMY=XX′YY′

△MXX″∼△MYY″

MXMY=XX″YY″

△AXX′∼△CYY″

XX′YY″=AXCY

△DXX″∼△BYY′

XX″YY″=DXBY

Từ các đẳng thức trên, ta có

(MXMY)2=XX′YY′.XX″YY″=AX.DXCY.BY

=PX.QXPY.QY (xem Phương tích)

=(PM−XM).(MQ+XM)(PM+MY).(QM−MY)=PM2−MX2PM2−MY2 (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

MX2MY2=PM2−MX2PM2−MY2=PM2PM2=1

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.