Trong toán giải tích, định lý Fubini, được giới thiệu bởi Guido Fubini (1907), là một kết quả xác định các điều kiện mà theo đó người ta có thể tính toán một tích phân bội bằng cách sử dụng tích phân lặp. Người ta có thể đổi lại thứ tự của phép lấy tích phân nếu tích phân kép cho một kết quả hữu hạn khi hàm lấy tích phân được thay thế bằng giá trị tuyệt đối của nó.

Kết quả là thứ tự của tích phân sẽ được phép thay đổi trong tích phân lặp. Định lý Fubini ngụ ý rằng hai tích phân lặp của một hàm hai biến bằng nhau nếu hàm khả tích. Định lý Tonelli được giới thiệu bởi Leonida Tonelli (1909) có kết quả tương tự nhưng áp dụng cho những hàm không âm hơn là các hàm khả tích.

Lịch sử

Trường hợp đặc biệt của định lý Fubini cho các hàm liên tục trên tích của các tập con bị chặn đóng của không gian vectơ thực được biết đến Euler trong thế kỷ 18. Lebesgue (1904) đã mở rộng kết quả này cho các hàm bị chặn đo được trên tích của các khoảng. Levi (1906) phỏng đoán rằng định lý có thể được mở rộng cho các hàm khả tích hơn là các hàm bị chặn và điều này đã được chứng minh bởi Fubini (1907). Tonelli (1909) đã đưa ra một biến đổi của định lý Fubini áp dụng cho các hàm không âm hơn là các hàm khả tích.

Định lý Fubini cho các hàm khả tích

Giả sử X và Y là các không gian phép đo hữu hạn tổng, và giả sử rằng X × Y xác định phép đo tích (duy nhất vì X và Y là hữu hạn tổng). Định lý Fubini phát biểu rằng nếu f(x,y) là khả tích X × Y , nghĩa là nó có thể đo được và

thì

Hai tích phân đầu tiên là tích phân lặp liên quan đến hai phép đo, và tương ứng, tích phân thứ ba là một tích phân liên quan đến phép đo tích. Các tích phân từng phần  không cần được định nghĩa khắp nơi,nhưng điều này không quan trọng vì những điểm không được định nghĩa dưới dạng tập các phép đo 0.

Nếu tích phân của giá trị tuyệt đối bên trên không hữu hạn thì hai tích phân lặp có thể có giá trị khác nhau. Xem minh họa dưới đây về khả năng này.

Điều kiện X và Y là hữu hạn tổng thường vô hại do trong thực tế hầu như tất cả các không gian đo được mà ta muốn sử dụng định lý Fubini đều là hữu hạn tổng. Định lý Fubini có một số phần mở rộng kỹ thuật đúng hơn cho trường hợp khi X và Y không được giả định là hữu hạn tổng (Fremlin 2003). Rắc rối chính trong trường hợp này là có thể có nhiều hơn một phép đo tích trên X×Y. Định lý Fubini vẫn đúng với các phép đo tích cực đại, nhưng có thể không đúng với các phép đo tích khác. Ví dụ, có một phép đo tích và hàm f đo được không âm mà tích phân kép của |f| bằng không nhưng hai tích phân lặp có giá trị khác nhau; xem ví dụ bên dưới cho trường hợp này. Định lý Tonelli và định lý Fubini-Tonelli (nêu dưới đây) có thể không đúng trên không gian không hữu hạn tổng ngay cả đối với các phép đo tích cực đại.

Định lý Tonelli cho các hàm không âm

Định lý Tonelli (đặt theo tên của Leonida Tonelli) là định lý kế thừa của định lý Fubini. Kết quả của định lý Tonelli là trùng với định lý Fubini, nhưng giả định  có tích phân hữu hạn được thay bằng giả định   không âm.

Định lý Tonelli phát biểu rằng nếu (X, A, μ) và (Y, B, ν) là không gian đo hữu hạn tổng, khi f từ X×Y đến [0,∞] là không âm và đo được, thì

Một trường hợp đặc biệt của định lý Tonelli là trong hoán vị các phép lấy tích phân, như, với    không âm với mọi x và y. Điểm mấu chốt của định lý là hoán vị thứ tự của phép lấy tích phân ngay cả khi các chuỗi phân kỳ. Trong thực tế, cách duy nhất để thay đổi thứ tự phép lấy tích phân là tồn tại một số chuỗi phụ phân kì đến  và những chuỗi phụ khác phân kỳ đến . Với tất cả các yếu tố không âm, điều này không xảy ra trong ví dụ đã phát biểu.

Nếu không có điều kiện trong đó các không gian đo hữu hạn tổng thì cả ba tích phân này sẽ có giá trị khác nhau. Một số tác giả đưa ra sự tổng quát của định lý Tonelli cho một số không gian đo không hữu hạn tổng nhưng các khái quát này thường bổ sung điều kiện giảm thiểu bài toán ngay lập tức thành trường hợp hữu hạn tổng. Ví dụ, người ta có thể chấp nhận đại số sigma tồn tại A × B mà được tạo ra bởi các tích của các tập con đo hữu hạn, hơn là được tạo ra bởi tất cả các tích của các tập con đo được, dù điều này có kết quả không mong muốn rằng các phép chiếu từ tích đến các nhân tố A và B của nó là không thể đo được. Một cách khác là thêm điều kiện giá của f được chứa trong một hợp đếm được của các tích của các tập hợp đo hữu hạn. Fremlin (2003) đưa ra một số phần mở rộng kỹ thuật tốt hơn của định lý Tonelli trong một số không gian không hữu hạn tổng. Không có sự khái quát nào tìm thấy bất kỳ ứng dụng quan trọng ngoài lý thuyết đo trừu tượng, chủ yếu là do hầu hết tất cả các không gian đo của sự quan tâm thiết thực là hữu hạn tổng.