Định lý Fubini cho các hàm khả tích

Giả sử X và Y là các không gian phép đo hữu hạn tổng, và giả sử rằng X × Y xác định phép đo tích (duy nhất vì X và Y là hữu hạn tổng). Định lý Fubini phát biểu rằng nếu f(x,y) là khả tích X × Y , nghĩa là nó có thể đo được và

thì

Hai tích phân đầu tiên là tích phân lặp liên quan đến hai phép đo, và tương ứng, tích phân thứ ba là một tích phân liên quan đến phép đo tích. Các tích phân từng phần không cần được định nghĩa khắp nơi,nhưng điều này không quan trọng vì những điểm không được định nghĩa dưới dạng tập các phép đo 0.

Nếu tích phân của giá trị tuyệt đối bên trên không hữu hạn thì hai tích phân lặp có thể có giá trị khác nhau. Xem minh họa dưới đây về khả năng này.

Điều kiện X và Y là hữu hạn tổng thường vô hại do trong thực tế hầu như tất cả các không gian đo được mà ta muốn sử dụng định lý Fubini đều là hữu hạn tổng. Định lý Fubini có một số phần mở rộng kỹ thuật đúng hơn cho trường hợp khi X và Y không được giả định là hữu hạn tổng (Fremlin 2003). Rắc rối chính trong trường hợp này là có thể có nhiều hơn một phép đo tích trên X×Y. Định lý Fubini vẫn đúng với các phép đo tích cực đại, nhưng có thể không đúng với các phép đo tích khác. Ví dụ, có một phép đo tích và hàm f đo được không âm mà tích phân kép của |f| bằng không nhưng hai tích phân lặp có giá trị khác nhau; xem ví dụ bên dưới cho trường hợp này. Định lý Tonelli và định lý Fubini-Tonelli (nêu dưới đây) có thể không đúng trên không gian không hữu hạn tổng ngay cả đối với các phép đo tích cực đại.