I. Dãy Fibonaci

Dãy số Fibonaci được xác định bởi công thức sau:

$$\{\begin{array}{l}{f}_0=0.\\ f_1=1.\\ f_i=f_{i-1}+f_{i-2},& \text{với }i\ge 2.\end{array}$$
​

Một số phần tử đầu tiên của dãy Fibonaci là: $0,1,1,2,3,5,8$ Ngoài ra, số Fibonaci thứ $N$ còn có thể tính bằng công thức tổng quát:

$$f_N=\frac{1}{\sqrt{5}}\times [{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}^N-{\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)}^N](1)$$

Dãy Fibonaci là đáp án của một số bài toán dưới đây:

1. Bài toán cổ về các cặp thỏ

Phát biểu bài toán:

• Ban đầu chỉ có một cặp thỏ được sinh ra.
• Hai tháng sau khi ra đời, mỗi cặp thỏ sẽ sinh ra một cặp thỏ con mới.
• Khi đã sinh con rồi thì cứ mỗi tháng tiếp theo, chúng lại sinh được một cặp con mới.
• Giả sử các con thỏ không bao giờ chết, hãy đếm số lượng cặp thỏ ở tháng thứ $N?$

Ví dụ: Với $N=5,$ ta thấy:

Giải thích:

• Giữa tháng thứ nhất: $1$ cặp (cặp ban đầu).
• Giữa tháng thứ hai: $1$ cặp (cặp ban đầu vẫn chưa đẻ).
• Giữa tháng thứ ba: $2$ cặp (cặp ban đầu đẻ thêm một cặp con).
• Giữa tháng thứ tư: $3$ cặp (cặp ban đầu tiếp tục đẻ).
• Giữa tháng thứ năm: $5$ cặp (cặp ban đầu tiếp tục đẻ và cặp thứ hai bắt đầu đẻ).