Phương trình

y = 2 - 3x² (1)

định nghĩa hàm f với y là biến phụ thuộc và x là biến độc lập. Sử dụng ký hiệu của hàm, chúng ta sẽ viết

y = f(x) hay f(x) = 2 - 3x²

Để giảm thiểu số lượng các ký hiệu, chúng tôi sẽ thường viết phương trình (1) theo dạng

y = 2 - 3x² = y(x)

trong đó y vừa là biến phụ thuộc vừa là ký hiệu hàm. Đây là một ký hiệu thuận tiện, và không gây hại khi thực hiện miễn là nhận thức được vai trò kép của y. Các ví dụ khác là

x = 2t² - 3t + 1 = x(t)

z = 2u² - 3u = z(u)

Cho đến bây giờ, chúng tôi đã xét các hàm mà chỉ liên quan đến một biến độc lập. Không có lý do gì để dừng lại ở đó: Khái niệm này có thể được tổng quát cho các hàm mà liên quan đến hai độc lập hoặc nhiều hơn, và điều này sẽ được thực hiện chi tiết trong Hàm nhiều biến. Còn bây giờ, chúng ta sẽ "mượn" ký hiệu của một hàm mà liên quan đến hai biến độc lập. Ví dụ,

F(x, y) = x² - 2xy + 3y² - 5

xác định F liên quan đến hai biến độc lập.

Đạo hàm hàm ẩn

Xét phương trình

3x² + y - 2 = 0                                       (2)

và phương trình thu được bằng cách giải phương trình (2) của y theo x,

y = 2 - 3x²                                              (3)

Cả hai phương trình xác định hàm như nhau với x là biến độc lập và y là biến phụ thuộc.

Đối với phương trình (3), ta viết

y = f(x)

trong đó

f(x) = 2 - 3x²                                          (4)

và chúng ta có một quy tắc rõ ràng (phát biểu trực tiếp) cho phép chúng ta xác định y với mỗi giá trị của x. Mặt khác, y trong phương trình (2) thì giống y trong phương trình (3) và phương trình (2) hoàn toàn ra cho (hiểu ngầm, mặc dù không biểu diễn trực tiếp) y là hàm theo x. Chúng ta nói rằng các phương trình (3) và (4) xác định hàm f một cách rõ ràng và phương trình (2) xác định f hàm ẩn.

Một phương trình mà xác định một hàm ẩn để tìm đạo hàm của hàm được gọi là đạo hàm hàm ẩn. Lấy đạo hàm phương trình (2) theo đạo hàm hàm ẩn và phương trình (3) một cách trực tiếp, và so sánh các kết quả.

Ta bắt đầu với

3x² + y - 2 = 03.5 Đạo Hàm Hàm Ẩ n

chúng ta nghĩ y là hàm theo x và viết

3x² + y(x) - 2 = 0

Sau đó chúng ta đạo hàm cả hai vế theo x:

6 x + y′ - 0 = 0

Bây giờ chúng ta giải ra y′:

y′ = -6x

Lưu ý rằng chúng ta có được kết quả tương tự nếu chúng ta bắt đầu với phương trình (3 ) và lấy đạo hàm trực tiếp:

y = 2 - 3x²

y′ = -6x

Tại sao chúng ta phải quan tâm đến đạo hàm hàm ẩn? Tại sao không giải cho y theo x và lấy đạo hàm trực tiếp? Câu trả lời là có rất nhiều phương trình có dạng ?

F(x, y) = 0                                   (5)

mà nó rất khó hay không thể giải ra y bằng một biểu thức rõ ràng theo x ( ví dụ, thử với phương trình x²y⁵ - 3xy + 5 = 0 hay với e^y - y = 3x. Nhưng có thể chỉ ra rằng, trong điều kiện khá tổng quát trên F, phương trình (5) sẽ xác định một hay nhiều hơn một hàm mà trong đó y là biến phụ thuộc và x là biến độc lập. Để tìm y′ trong các điều kiện này, chúng ta đạo hàm hàm ẩn phương trình (5).