Trong toán học, đạo hàm (tiếng Anh: derivative) của một hàm số là một đại lượng mô tả sự biến thiên của hàm tại một điểm nào đó. Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích. Chẳng hạn, trong vật lý, đạo hàm biểu diễn vận tốc tức thời của một điểm chuyển động, khi mà công cụ này giúp đo lường tốc độ mà đối tượng đó thay đổi tại một thời điểm xác định.

Đạo hàm của một hàm số đơn biến tại một điểm xác định nếu tồn tại, sẽ đồng thời là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị của hàm số tại chính điểm đó. Tiếp tuyến này cũng đồng thời là xấp xỉ tuyến tính tốt nhất có thể tìm được của hàm số lân cận với giá trị đã cho. Bởi lý do này, đạo hàm thường được mô tả là "tốc độ thay đổi tức thời", với tỉ lệ thay đổi tức thời phụ thuộc vào biến độc lập của hàm số.

Đạo hàm có thể được khái quát hóa cho hàm số đa biến, ở đó nó được định nghĩa là một phép biến đổi tuyến tính có đồ thị là xấp xỉ tuyến tính chính xác nhất của đồ thị hàm số ban đầu. Ma trận Jacobi là ma trận dùng để mô tả phép biến đổi tuyến tính đó đối với chuẩn được cho bởi các biến độc lập và biến phụ thuộc, có thể được tính nhờ các đạo hàm riêng đối với biến độc lập. Với một hàm số thực đa biến, ma trận Jacobi được rút gọn về vectơ gradien.

Quá trình tính toán đạo hàm của một hàm số được gọi là tìm vi phân, phép toán ngược với phép lấy đạo hàm là nguyên hàm, và định lý cơ bản của giải tích thể hiện mối quan hệ giữa tích phân với nguyên hàm. Vi phân và tích phân là hai công cụ cơ bản trong giải tích đơn biến.^[a]

Định nghĩa[sửa | sửa mã nguồn]

Một hàm số thực f(x) có đạo hàm hay khả vi (tiếng Anh: differentiable) tại điểm a trên miền xác định của nó nếu như trên khoảng mở I có chứa a, giới hạn

tồn tại. Điều này có nghĩa rằng, với mọi số thực dương  (kể cả rất nhỏ), tồn tại một số thực dương  sao cho với mối số h sao cho  và , khi đó  được xác định và ,
với hai dấu gạch ngang thể hiện giá trị tuyệt đối
Khi đó, nếu f khả vi tại a, giới hạn L tồn tại hay hội tụ, giới hạn này khi đó được gọi là đạo hàm của f tại a và được kí hiệu là  (đọc là đạo hàm của f tại a) hay  (đọc là thương của số gia của đối số trên số gia của hàm số tại a)

Vi phân[sửa | sửa mã nguồn]

Bài chi tiết: Vi phân

Vi phân (differentiation) là quá trình để tính đạo hàm. Đạo hàm của hàm số y = f(x), với x là biến số, mô tả sự thay đổi giá trị của y tương ứng với độ biến thiên của x và còn được gọi là đạo hàm của f đối với x. Nếu x và y đều thuộc tập số thực thì đạo hàm của hàm số là hệ số góc của đồ thị hàm đó tại mỗi điểm trong hệ tọa độ Descartes.

Xét trường hợp đơn giản nhất: gọi y là một hàm số bậc nhất biến x có đồ thị là một đường thẳng. Trong trường hợp này, y = f(x) = mx + b với m và b là số thực và hệ số góc m được tính bằng

trong đó Δ (delta) là viết tắt của "thay đổi", Δx (số gia của đối số) và Δy (số gia tương ứng của hàm số) chỉ sự biến thiên của x và y, . Công thức trên là đúng do:

Suy ra

Biểu thức trên cho biết giá trị hệ số góc của một đường thẳng.