Công thức De Moivre

Trong toán học, công thức de Moivre (hay định thức de Moivre, đẳng thức de Moivre, tiếng Anh: de Moivre's formula) phát biểu rằng với mọi số thực x và số nguyên n, đẳng thức sau luôn xảy ra, với i là đơn vị ảo (i² = −1)

Công thức được đặt theo tên của nhà toán học Abraham de Moivre, mặc dù ông chưa bao giờ đề cập nó trong các tác phẩm của mình. Công thức này có giá trị chủ yếu ở việc liên kết các số phức với công thức lượng giác. Bằng việc khai triển biểu thức ở vế trái sau đó sử dụng điều kiện để hai số phức bằng nhau, công thức de Moivre có thể được sử dụng để khai triển cos nx và sin nx dưới dạng đơn giản hơn là đa thức của cos x và sin x.

Như nội dung của công thức, đẳng thức này không được áp dụng hoàn toàn cho trường hợp n không phải là số nguyên.

Ví dụ

Với và , công thức de Moivre có thể được áp dụng như sau:

$\left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),$

hoặc tương đương với

Mối quan hệ với công thức Euler

Công thức de Moivre là hệ quả cho công thức Euler - công thức thiết lập mối quan hệ giữa các hàm lượng giác và hàm mũ với số mũ phức:

Sử dụng tính chất của phép lũy thừa, có thể sử dụng công thức Euler để suy ra công thức de Moivre, bằng cách viết như sau:

sử dụng công thức Euler cho vế trái, vế trái tương đương với , vế phải sẽ tương đương với:

Công thức hạ bậc của sin và cosin

Để hai số phức có thể bằng nhau, phần thực và phần ảo của chúng đều phải đôi một bằng nhau. Nếu như x, hay cos x và sin x đều là những số thực, khi đó chúng đều có thể được sử dụng để thiết lập mối quan hệ bằng nhau bằng việc sử dụng định lý nhị thức. Công thức này được phát biểu lần đầu tiên vào thế kỷ thứ 16 bởi nhà toán học người Pháp François Viète:

${\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}$

Ở vế phải của cả hai đồng nhất thức, hệ số tự do hoặc là 1, -1 hay 0. Hai đồng nhất thức này đúng kể cả khi x là một số phức. Dưới đây là hai ví dụ cho trường hợp n = 2 và n = 3:

Bản chất vế trái của đồng nhất thức với cos nx là giá trị của T_n(cos x) - một đa thức Chebyshev.