1. Tìm cực trị của hàm số (max/min)

• Ứng dụng: Giúp xác định điểm cao nhất hoặc thấp nhất của một hàm số.

• Ví dụ: Trong kinh tế học, người ta dùng đạo hàm để tìm mức sản xuất tối ưu sao cho lợi nhuận tối đa.

2. Xét tính đơn điệu của hàm số

• Ứng dụng: Đạo hàm bậc nhất giúp ta biết hàm số đang tăng hay giảm trên một khoảng.

• Ý nghĩa: Việc này quan trọng trong việc vẽ đồ thị hàm số, chứng minh bất đẳng thức hoặc giải các bài toán cực trị.

3. Ứng dụng trong vật lý: tính vận tốc và gia tốc 

• Vận tốc là đạo hàm của vị trí theo thời gian.

• Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian (tức đạo hàm bậc hai của vị trí).

• Ví dụ: Mô tả chuyển động của vật thể, như xe hơi, tên lửa, hành tinh...

4. Tính xấp xỉ giá trị hàm số (Khai triển Taylor)

• Ứng dụng: Dùng đạo hàm để xấp xỉ hàm số bằng đa thức (gọi là chuỗi Taylor hoặc Maclaurin).

• Ví dụ: Trong khoa học máy tính và kỹ thuật, người ta dùng khai triển để tính toán gần đúng giá trị hàm lượng giác, logarit, mũ,...

5. Tính tốc độ thay đổi trong các bài toán thực tế

• Ý tưởng: Đạo hàm biểu diễn tốc độ thay đổi của một đại lượng so với đại lượng khác.

• Ví dụ: Tốc độ tăng dân số, tốc độ tăng lợi nhuận theo thời gian,...

6. Ứng dụng trong hình học

• Ví dụ:

  • Tìm tiếp tuyến và pháp tuyến của đồ thị hàm số.

  • Tính góc giữa hai đường cong.

  • Tính độ cong của một đường.

Ta xét một số bài toán ứng dụng của đạo hàm trong tính tốc độ thay đổi của các bài toán thực tế:
Ví dụ 1: Giả sử dân số của một thành phố tại thời điểm t (tính bằng năm) được mô tả bởi hàm số:

P(t)=50000⋅e^0.02t

Hỏi tốc độ tăng dân số tại thời điểm t = 5 năm là bao nhiêu?

Giải:
Tốc độ tăng dân số chính là đạo hàm của P(t):  P′(t) = 50000⋅0.02⋅e^0.02t = 1000⋅e^0.02t

Thay t=5, ta được P′(5) = 1000⋅e^0.02x5 ≈1105.17

→ Dân số đang tăng khoảng 1105 người/năm sau 5 năm.

Ví dụ 2: Lợi nhuận của một công ty khi sản xuất xxx đơn vị sản phẩm là:

R(x)=−2x²+200x−500 (đvtt)

Tính tốc độ thay đổi lợi nhuận khi sản xuất 30 sản phẩm.

Giải:
Tốc độ thay đổi lợi nhuận là đạo hàm của R(x):  R′(x)=−4x+200

Thay x=30:  R′(30)=−4⋅30+200 = −120+200 = 80

→ Khi sản xuất sản phẩm thứ 30, lợi nhuận đang tăng thêm 80 đvtt/sản phẩm.

Ví dụ 3: Lượng nước (tính bằng lít) trong một bồn tại thời điểm t (tính bằng phút) là:  V(t)=100t^1/2.

Tính tốc độ nước chảy vào bồn ở phút thứ 4.

Giải:

Tốc độ nước chảy là đạo hàm của V(t): V′(t) = 100.1/2 t^-1/2 = 50 t^-1/2​

Thay t=4 ta được V′(4) = 25

→ Nước đang chảy vào với tốc độ 25 lít/phút tại phút thứ 4.

Ví dụ 4:Nhiệt độ của một vật theo thời gian t (phút) là:  T(t) = 20+60e^−0.1t

Tính tốc độ giảm nhiệt ở phút thứ 10.

Giải: 

Tốc độ thay đổi nhiệt độ là đạo hàm của T(t):  T′(t) = 60⋅(−0.1)⋅e^−0.1t = −6e^−0.1t

Thay t=10 ta được  T′(10) = −6e⁻¹ ≈ −2.21

→ Nhiệt độ đang giảm khoảng 2.21 độ/phút ở phút thứ 10.