BẤT ĐẲNG THỨC KHINTCHINE

Bất đẳng thức Khintchine là một kết quả trong xác suất , cũng thường được sử dụng trong phân tích, dùng để giới hạn kỳ vọng của tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên Rademacher với trọng số bình phương tổng được . Nó được đặt theo tên của Aleksandr Khinchin và được viết theo nhiều cách khác nhau trong bảng chữ cái Latinh.

$A_{p}\leq {\frac {\mathbb {E} \left[\left|\sum _{n=1}^{\infty }\epsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right]^{1/p}}{\|x\|_{2}}}\leq B_{p}.$

Ví dụ cụ thể, hãy xem xét $N$ $N$ số phức $x_{1},\dots ,x_{N}\in \mathbb {C}$ $x_{1},\dots ,x_{N}\in \mathbb {C}$ , có thể được hình dung như các vectơ trong mặt phẳng. Bây giờ hãy lấy ví dụ $N$ $N$ dấu hiệu ngẫu nhiên $\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{N}\in \{-1,+1\}$ $\epsilon _{1},\dots ,\epsilon _{N}\in \{-1,+1\}$ với xác suất độc lập như nhau. Bất đẳng thức này phát biểu rằng ${\Big |}\sum _{i}\epsilon _{i}x_{i}{\Big |}\approx {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}$ ${\Big |}\sum _{i}\epsilon _{i}x_{i}{\Big |}\approx {\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{N}|^{2}}}$ với sai số có giới hạn.

NỘI DUNG ĐỊNH LÝ

Cho phép $\{\varepsilon _{n}\}_{n=1}^{N}$ $\{\varepsilon _{n}\__{n=1}^{N}$ là các biến ngẫu nhiên độc lập và phân bố đồng nhất với $P(\varepsilon _{n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}$ $P(\varepsilon _{n}=\pm 1)={\frac {1}{2}}$ vì $n=1,\ldots ,N$ $n=1,\ldots ,N$ , tức là, một dãy có phân phối Rademacher . Cho $0<p<\infty$ $0<p<\infty$ và để $x_{1},\ldots ,x_{N}\in \mathbb {C}$ $x_{1},\ldots ,x_{N}\in \mathbb {C}$ . Sau đó

A_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}\leq \left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\leq B_{p}\left(\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}\right)^{1/2}

đối với một số hằng số $A_{p},B_{p}>0$ $A_{p},B_{p}>0$ chỉ phụ thuộc vào $P$ $p$ . Nói một cách ngắn gọn hơn, $\left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\in [A_{p},B_{p}]$ $\left(\operatorname {E} \left|\sum _{n=1}^{N}\varepsilon _{n}x_{n}\right|^{p}\right)^{1/p}\in [A_{p},B_{p}]$ cho bất kỳ chuỗi nào $x$ $x$ với đơn vị $\ell ^{2}$ $\ell ^{2}$ chuẩn mực.

Các giá trị chính xác của hằng số $A_{p},B_{p}$ $A_{p},B_{p}$ được tìm thấy bởi Haagerup. Thật dễ dàng để thấy rằng $A_{p}=1$ $A_{p}=1$ khi $p\geq 2$ $p\geq 2$ , và $B_{p}=1$ $B_{p}=1$ khi $0<p\leq 2$ $0<p\leq 2$ .

Haagerup nhận thấy rằng

{\begin{aligned}A_{p}&={\begin{cases}2^{1/2-1/p}&0<p\leq p_{0},\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&p_{0><p<2\\1&2\leq p<\infty \end{cases}}\\&{\text{and}}\\B_{p}&={\begin{cases}1&0<p\leq 2\\2^{1/2}(\Gamma ((p+1)/2)/{\sqrt {\pi }})^{1/p}&2<p<\infty \end{cases}},\end{aligned}}

Ở đây $p_{0}\approx 1.847$ và $\Gamma$ $\Gamma$ là hàm Gamma . Đặc biệt, người ta có thể lưu ý rằng $B_{p}$ $B_{p}$ hoàn toàn trùng khớp với các momen của phân phối chuẩn.

ỨNG DỤNG

Việc sử dụng bất đẳng thức này không chỉ giới hạn trong các ứng dụng của lý thuyết xác suất . Một ví dụ về việc sử dụng nó trong giải tích là như sau: nếu ta đặt $T$ $T$ là một toán tử tuyến tính giữa hai không gian $L^{p}(X,\mu )$ và $L^{p}(Y,\nu )$ $L^{p}(Y,\nu )$ , $1<p<\infty$ $1<p<\infty$ , với chuẩn giới hạn $\|T\|<\infty$ $\|T\|<\infty$ , sau đó người ta có thể sử dụng bất đẳng thức Khintchine để chứng minh rằng

\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|Tf_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(Y,\nu )}\leq C_{p}\left\|\left(\sum _{n=1}^{N}|f_{n}|^{2}\right)^{1/2}\right\|_{L^{p}(X,\mu )}

với một hằng số nào đó $C_{p}>0$ $C_{p}>0$ chỉ phụ thuộc vào $P$ $p$ và $\|T\|$ $\|T\|$ .