Định lý con bướm là một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Gọi ${\displaystyle X^{\prime }}$ và ${\displaystyle X^{″}}$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi ${\displaystyle Y^{\prime }}$ và ${\displaystyle Y^{″}}$ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Do

${\displaystyle \mathrm{△}MX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}MY{Y}^{\prime }}$

${\displaystyle \frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}}$

${\displaystyle \mathrm{△}MX{X}^{″}\sim \mathrm{△}MY{Y}^{″}}$

${\displaystyle \frac{MX}{MY}=\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}}$

${\displaystyle \mathrm{△}AX{X}^{\prime }\sim \mathrm{△}CY{Y}^{″}}$

${\displaystyle \frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX}{CY}}$

${\displaystyle \mathrm{△}DX{X}^{″}\sim \mathrm{△}BY{Y}^{\prime }}$

${\displaystyle \frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}=\frac{DX}{BY}}$

Từ các đẳng thức trên, ta có

${\displaystyle {\left(\frac{MX}{MY}\right)}^2=\frac{X{X}^{\prime }}{Y{Y}^{\prime }}.\frac{X{X}^{″}}{Y{Y}^{″}}=\frac{AX.DX}{CY.BY}}$

${\displaystyle =\frac{PX.QX}{PY.QY}}$ (xem Phương tích)

${\displaystyle =\frac{(PM-XM).(MQ+XM)}{(PM+MY).(QM-MY)}=\frac{P{M}^2-M{X}^2}{P{M}^2-M{Y}^2}}$ (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

${\displaystyle \frac{M{X}^2}{M{Y}^2}=\frac{P{M}^2-M{X}^2}{P{M}^2-M{Y}^2}=\frac{P{M}^2}{P{M}^2}=1}$

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM=BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P, Q, đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK=LN.