AI có thể bắt đầu giải những bài toán mở?

Câu chuyện quanh Erdős Problem #1196 và công trình mới của Terence Tao cho thấy một khả năng đáng chú ý: AI không chỉ tính toán, mà có thể gợi ra những ý tưởng toán học mới.

Trong nhiều năm, trí tuệ nhân tạo thường được xem như một công cụ hỗ trợ: viết code, kiểm tra tính toán, tìm tài liệu, hoặc tự động hóa một số bước kỹ thuật. Nhưng sự kiện gần đây quanh bài toán Erdős Problem #1196 cho thấy một điều sâu hơn: AI có thể tham gia vào quá trình hình thành ý tưởng nghiên cứu toán học.

Công trình Primitive sets and von Mangoldt chains: Erdős Problem #1196 and beyond, với sự tham gia của Terence Tao và các cộng sự, giới thiệu một phương pháp mới để xử lý các tổng Erdős của primitive sets. Đáng chú ý, bài báo ghi nhận rằng ý tưởng phương pháp này được gợi ra từ đầu ra của GPT-5.4 Pro.

Primitive set là gì?

Một tập các số nguyên dương được gọi là primitive nếu không có phần tử nào chia hết cho phần tử khác.

Chẳng hạn, tập {6, 10, 15} là primitive, vì không số nào trong ba số này chia hết cho số còn lại. Nhưng tập {2, 6, 10} không primitive, vì 2 chia hết 6 và 10.

Bài toán Erdős #1196

Bài toán được Erdős, Sárközy và Szemerédi đặt ra từ năm 1966. Một phiên bản đơn giản của câu hỏi là: nếu A là một primitive set chỉ gồm các số đủ lớn, liệu ta có thể chứng minh rằng tổng sau không vượt quá 1 + o(1)?

Đây là một bài toán mở tồn tại gần 60 năm. Trước đó, các nhà toán học đã có nhiều cận trên quan trọng, nhưng chưa đạt được hằng số tối ưu như conjecture dự đoán.

AI đã làm gì?

Điểm then chốt không phải là AI tự mình viết ra một chứng minh hoàn chỉnh và sạch sẽ. Điều quan trọng hơn là AI đã gợi ý một hướng tiếp cận khác: dùng Markov chains trên divisibility poset với trọng số von Mangoldt.

Từ góc nhìn đó, nhóm tác giả xây dựng khái niệm von Mangoldt chains, một công cụ cho phép kiểm soát primitive sets hiệu quả hơn. Đây chính là phần mà nhiều người trong cộng đồng toán học xem là đáng chú ý: AI đã gợi ra một cấu trúc khái niệm có giá trị, sau đó con người kiểm tra, phát triển và biến nó thành toán học nghiêm túc.

Đây có phải là “AI thay thế nhà toán học”?

Không nên hiểu như vậy. Đầu ra ban đầu của AI vẫn cần được kiểm tra, chỉnh sửa, tổ chức lại và chứng minh bởi các nhà toán học. Vai trò của con người vẫn là trung tâm: xác định phát biểu đúng, loại bỏ sai sót, xây dựng chứng minh và đặt kết quả vào bối cảnh toán học hiện có.

Tuy nhiên, sự kiện này cho thấy AI có thể đóng vai trò như một cộng sự heuristic: nó có thể đề xuất một con đường lạ, một biến đổi bất ngờ, hoặc một cấu trúc mà con người chưa nghĩ tới.

Vì sao sự kiện này quan trọng?

• Nó liên quan đến một bài toán Erdős tồn tại gần 60 năm.
• Ý tưởng trung tâm không chỉ là tính toán, mà là một phương pháp mới.
• Phương pháp này còn dẫn đến nhiều hệ quả khác trong lý thuyết primitive sets.
• Nó cho thấy AI có thể tham gia vào giai đoạn sáng tạo ý tưởng toán học.

Một thời kỳ mới cho nghiên cứu toán học?

Có lẽ đây chưa phải là thời điểm AI có thể tự động giải hàng loạt bài toán mở. Nhưng đây là một tín hiệu rõ ràng rằng cách làm toán đang thay đổi.

Trong tương lai gần, nhà toán học có thể không chỉ dùng AI để kiểm tra code hay tìm tài liệu, mà còn dùng AI để thử nghiệm các hướng chứng minh, tạo conjecture, tìm representation mới, hoặc phát hiện cấu trúc ẩn sau một bài toán.

Tài liệu tham khảo

• Terence Tao, Primitive sets and von Mangoldt chains: Erdős Problem #1196 and beyond .
• Boris Alexeev et al., Primitive sets and von Mangoldt chains: Erdős Problem #1196 and beyond , arXiv:2605.00301.