Tương tự như hàm số hay tích phân, vi phân, đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và nhiều lĩnh vực khác.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Tiếp tuyến của đường cong phẳng

Đạo hàm của hàm số {\displaystyle y=f(x)} tại {\displaystyle x_{0}} là hệ số góc của tiếp tuyến {\displaystyle M_{0}T} của (C) tại điểm {\displaystyle M_{0}(x_{0};f(x_{0}))}. Chứng minh: Giả sử ta có điểm {\displaystyle M(x_{0}+\Delta x;f(x_{0}+\Delta x)0} là điểm di chuyển trên (C). Ta có {\displaystyle {\bar {M_{0}H}}} ={\displaystyle \Delta x,{\bar {HM}}=\Delta y} Hệ số góc của cát tuyến {\displaystyle M_{0}M} là {\displaystyle tan\varphi ={\frac {\bar {HM}}{\bar {M_{0}H}}}} {\displaystyle ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}} Khi M dần tới {\displaystyle M_{0}} ({\displaystyle M\longrightarrow M_{0}}) thì {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} và ngược lại. Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại {\displaystyle x_{0}} nên tồn tại giới hạn {\displaystyle f'(x_{0})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}} = {\displaystyle \lim _{M\to M_{0}}tan\varphi } Vậy khi {\displaystyle M\longrightarrow M_{0}} thì cát tuyến {\displaystyle M_{0}M} dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng {\displaystyle M_{0}T}, có hệ số góc bằng {\displaystyle \lim _{M\to M_{0}}tan\varphi =f'(x_{0})}. Đường thẳng {\displaystyle M_{0}T} là tiếp tuyến tại {\displaystyle M_{0}} của (C). Vậy {\displaystyle f'(x_{0})} là hệ số góc của tiếp tuyến tại {\displaystyle M_{0}} của đồ thị (C)

Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm y=f(x) tại {\displaystyle M_{0}(x_{0};f(x_{0}))} là {\displaystyle y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})} trong đó {\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}. Điều này được rút ra từ tiếp tuyến đường cong phẳng.

Ý nghĩa vật lý của đạo hàm

Vận tốc tức thời

Một chuyển động thẳng có phương trình dạng {\displaystyle s=s(t)} là một hàm số có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức {\displaystyle v(t_{0})=s'(t_{0})=\lim _{t\to t_{0}}{\frac {s(t)-s(t_{0})}{t-t_{0}}}} trong đó nếu {\displaystyle t\rightarrow t_{0}} {\displaystyle \Leftrightarrow \left\vert t-t_{0}\right\vert } sẽ có độ chính xác càng cao..

Cường độ tức thời của dòng điện

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay {\displaystyle Q=Q(t)} với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian {\displaystyle \left\vert t-t_{0}\right\vert }là {\displaystyle I={\frac {Q(t)-Q(t_{0})}{t-t_{0}}}} hoặc đơn giản chỉ là {\displaystyle I(t_{0})=Q'(t_{0})}

Gia tốc tức thời

Với đạo hàm cấp hai ta có {\displaystyle f''(t)} là gia tốc tức thời của chuyển động {\displaystyle s=f(t)} tại thời điểm t.

Tất cả các kiến thức kể trên đều có trong SGK Đại số và Giải tích 11, Sách nâng cao Đại số và Giải tích 11 nâng cao và Sách Giáo viên Đại số Giải tích 11 nâng cao.

Ý nghĩa hàm số của đạo hàm

Xét tính đơn điệu của hàm số

Định lý sau đây được thừa nhận: Cho hàm y=f(x) có đạo hàm trên K nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x){\displaystyle \geq } 0 {\displaystyle (f'(x)\leq 0)\forall x\in K,f(x)=0} tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K

Điều kiện để hàm số có cực trị

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên {\displaystyle K=(x_{0}-h;x_{0}+h)} và có đạo hàm trên K hoặc trên {\displaystyle K\setminus \left\{x_{0}\right\},h>0} Nếu f'(x)>0 trên khoảng {\displaystyle (x_{0}-h;x_{0})} và f'(x)<0 trên khoảng {\displaystyle (x_{0};x_{0}+h)} thì {\displaystyle x_{0}} là một điểm cực đại của hàm số f(x) Nếu f'(x)<0 trên khoảng {\displaystyle (x_{0}-h;x_{0})} và f'(x)>0 trên khoảng {\displaystyle (x_{0};x_{0}+h)} thì {\displaystyle x_{0}} là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

Tìm cực trị[

Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K kể trên và h>0 thì:

nếu {\displaystyle f'(x_{0})=0,f''(x_{0})>0=>x_{0}\min }

nếu {\displaystyle f'(x_{0})=0,f''(x_{0})<0=>x_{0}\max }