BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CỰC TRỊ – TÌM LỢI NHUẬN LỚN NHẤT

Một doanh nghiệp sản xuất và bán một loại sản phẩm. Nghiên cứu thị trường cho thấy:
- Nếu doanh nghiệp bán mỗi sản phẩm với giá x (nghìn đồng) thì số sản phẩm tiêu thụ được trong một tháng là:
  Q(x) = 1000 − 20x (x ≤ 50).
- Chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 nghìn đồng.
a. Hãy biểu diễn lợi nhuận L(x) (nghìn đồng) của doanh nghiệp theo x.
b. Tìm giá bán x để lợi nhuận đạt lớn nhất.
c. Tính lợi nhuận lớn nhất đó.

Giải

a) Doanh thu:
R(x) = x · Q(x) = x(1000 − 20x)
Chi phí:
C(x) = 10 · Q(x) = 10(1000 − 20x)
Hàm lợi nhuận:
L(x) = R(x) − C(x)
L(x) = x(1000 − 20x) − 10(1000 − 20x)
L(x) = (x − 10)(1000 − 20x)
L(x) = −20x² + 1200x − 10000
b) Vì Q(x) ≥ 0 nên: 1000 − 20x ≥ 0 ⇒ x ≤ 50.
Giá bán không âm nên x ≥ 0.
Miền xác định: 0 ≤ x ≤ 50.
L'(x) = −40x + 1200.
L'(x) = 0 ⇒ −40x + 1200 = 0 ⇒ x = 30.

L'' (x) = -40 < 0 ⇒ L(x) đạt cực đại tại x =30.
c) Lợi nhuận lớn nhất
L(30) = −20·30² + 1200·30 − 10000 = 8000 (nghìn đồng).
 

Kết luận:
- Giá bán tối ưu: 30 nghìn đồng/sản phẩm.
- Lợi nhuận lớn nhất: 8000 nghìn đồng (8 triệu đồng).