Bài toán

Một doanh nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm A và B.

• x là số lượng sản phẩm A (đơn vị: trăm sản phẩm).
• y là số lượng sản phẩm B (đơn vị: trăm sản phẩm).

Lợi nhuận (triệu đồng) của doanh nghiệp được mô tả bởi hàm

Hãy xác định số lượng mỗi loại sản phẩm cần sản xuất để lợi nhuận đạt lớn nhất, đồng thời tính lợi nhuận lớn nhất.

Giải

 Tìm các điểm tới hạn

Ta có
                     

  Tính các đạo hàm riêng cấp một.

                 P_x =120 − 8x − 2y,     P_y = 100 - 2x - 4y,

Điểm cực trị thỏa mãn

Điểm tới hạn là A(10,20). 

Kiểm tra điều kiện cực trị

Các đạo hàm riêng cấp hai

Ta có

nên theo tiêu chuẩn đạo hàm cấp hai, điểm A(10, 20) là điểm cực đại địa phương.

Kết luận

Doanh nghiệp nên sản xuất

• 1000 sản phẩm loại A (vì x=10 đơn vị, mỗi đơn vị là 100 sản phẩm),
• 2000 sản phẩm loại B (vì y=20 đơn vị).

Khi đó doanh nghiệp đạt lớn nhất. Lợi nhuận lớn nhất là 

P_max= P(10, 20) = 1600 triệu đồng

Ý nghĩa kinh tế

• Nếu sản xuất quá ít thì doanh thu chưa đủ lớn.
• Nếu sản xuất quá nhiều thì chi phí tăng nhanh do chi phí biên tăng và sự tương tác giữa hai loại sản phẩm, làm lợi nhuận giảm.
• Điểm (10,20)  là mức sản xuất tối ưu giúp doanh nghiệp đạt lợi nhuận cao nhất.