Tiếp theo bài viết trước đây, xem ở [1], chúng tôi đưa ra một ví dụ trực quan về ứng dụng của phương pháp Stein trong chứng minh định lý giới hạn trung tâm.

Định lý giới hạn trung tâm (CLT): Cho \(X_1, X_2,...,X_n \in \mathbb{R}\) là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối với kì vọng là 0 và phương sai là 1. \[X =\dfrac{\sum_i X_i}{\sqrt{n}} \] sẽ hội tụ yếu đến đại lượng ngẫu nhiên chuẩn tắc \(Z \sim N(0,1)\).

Ý tưởng chứng minh định lý giới hạn trung tâm bằng phương pháp Stein: Ý tưởng dựa trên thông tin rằng \[\mathbb{E}Zf(Z) = \mathbb{E}f'(Z) \text{ cho tất cả các hàm trơn } f \Longleftrightarrow Z \sim N(0,1).\] Điều này gợi ý rằng đại lượng ngẫu nhiên \(X\) sẽ xấp xỉ phân phối chuẩn tắc nếu \(\mathbb{E}Xf(X) - \mathbb{E}f'(X)\) xấp xỉ tới 0.

Sơ lược chứng minh CLT: Với mỗi \(i\), đặt \(X^i = X- n^{-1/2}X_i\). Rõ ràng rằng \(X^i\) và \(X_i\) là độc lập với nhau. Khi đó, với mỗi hàm \(f\), ta có \[\mathbb{E}(X_if(X^i) = \mathbb{E}(X_i)\mathbb{E}(f(X^i) = 0.\]

Phân tích Taylor bậc nhất cho ta đánh giá sau \[\mathbb{E}(X_if(X)) = \mathbb{E}(X_i(f(X)-f(X^i))\approx \mathbb{E}(X_i(X-X^i)f'(X))=n^{-1/2}\mathbb{E}(X_i^2f'(X))\] Như thế, ta có \[\mathbb{E}(Xf(X))=n^{-1/2}\sum_{i}\mathbb{E}(X_if(X))\approx n^{-1}\sum_{i}\mathbb{E}(X_i^2f'(X))=\mathbb{E}((n^{-1}\sum X_i^2)f'(X))\]

Theo định luật số lớn ta có \(n^{-1}\sum X_i^2 \approx 1\). Như thế, \(\mathbb{E}(Xf(X)) \approx \mathbb{E}(f'(X))\). Điều này có nghĩa là theo phương pháp Stein, đại lượng ngẫu nhiên \(X\) xấp xỉ phân phối chuẩn tắc.

Kết luận: Trên đây là sơ lược chứng minh Định lý giới hạn trung tâm bằng phương pháp Stein.

Tài liệu tham khảo:

1. https://kmtkhtn.duytan.edu.vn/tin-tuc/phuong-phap-stein-4b4q0

2. Sourav Chatterjee, Lecture notes: Stein's method and application.