Mô hình Marshall

Mô hình Marshall–Olkin

Giới thiệu

Mô hình Marshall–Olkin là một trong những mô hình cơ bản và quan trọng trong lý thuyết độ tin cậy, phân tích rủi ro và xác suất đa chiều. Mô hình này được Marshall và Olkin đề xuất nhằm mô tả sự phụ thuộc giữa các biến ngẫu nhiên thông qua các cú sốc chung (common shocks), đặc biệt phù hợp cho các hệ thống có khả năng hỏng đồng thời.

Xây dựng mô hình và động cơ

Trong nhiều hệ thống thực tế, giả thiết các thành phần hỏng độc lập thường không phản ánh đúng bản chất của hiện tượng. Trên thực tế, các thành phần có thể chịu ảnh hưởng đồng thời bởi những nguyên nhân chung như điều kiện môi trường, sự cố kỹ thuật hoặc các biến cố vĩ mô. Do đó, cần một mô hình có khả năng mô tả đồng thời hai cơ chế: hỏng riêng lẻ và hỏng do cú sốc chung.

Mô hình Marshall–Olkin được xây dựng dựa trên một cách diễn giải xác suất rất tự nhiên thông qua các biến thời gian chờ độc lập. Cụ thể, ta giả sử rằng mỗi thành phần có một thời gian hỏng riêng, đồng thời tồn tại một thời gian hỏng chung có thể tác động đồng thời lên nhiều thành phần.

Trong trường hợp hai chiều, xét ba biến ngẫu nhiên độc lập:

E₁ ~ Exp(λ₁), E₂ ~ Exp(λ₂), E₁₂ ~ Exp(λ₁₂)

Ở đây, E₁ và E₂ biểu diễn thời gian hỏng do các nguyên nhân riêng lẻ của từng thành phần, trong khi E₁₂ biểu diễn thời gian xuất hiện của một cú sốc chung. Giả thiết phân phối mũ được lựa chọn vì tính không nhớ, phản ánh việc xác suất hỏng trong tương lai không phụ thuộc vào thời gian đã hoạt động trước đó.

Thời gian hỏng quan sát được của mỗi thành phần được định nghĩa là thời điểm xảy ra nguyên nhân đầu tiên tác động đến nó, tức là:

X₁ = min(E₁, E₁₂)
X₂ = min(E₂, E₁₂)

Cách xây dựng này phản ánh đúng cơ chế vật lý của hệ thống: một thành phần sẽ hỏng ngay khi hoặc nguyên nhân riêng của nó xảy ra, hoặc khi cú sốc chung xuất hiện. Chính việc chia sẻ cùng một biến E₁₂ là nguồn gốc tạo ra sự phụ thuộc giữa X₁ và X₂.

Ưu điểm quan trọng của cách tiếp cận này là mô hình vừa giữ được các phân phối biên đơn giản (phân phối mũ), vừa tạo ra cấu trúc phụ thuộc rõ ràng và dễ diễn giải. Điều này khiến mô hình Marshall–Olkin đặc biệt phù hợp cho các bài toán độ tin cậy, bảo hiểm và rủi ro tài chính.

Hàm sống sót chung

Hàm sống sót chung của mô hình Marshall–Olkin mô tả xác suất hai thành phần vẫn còn hoạt động đồng thời sau các thời điểm cho trước. Đối với cặp biến ngẫu nhiên (X₁, X₂), hàm sống sót chung được định nghĩa là xác suất X₁ lớn hơn x₁ và X₂ lớn hơn x₂, với x₁ và x₂ không âm.

Dựa trên cách xây dựng mô hình bằng các thời gian chờ độc lập, sự kiện {X₁ > x₁, X₂ > x₂} xảy ra khi và chỉ khi cả ba biến E₁, E₂ và E₁₂ đều lớn hơn các ngưỡng tương ứng. Cụ thể, E₁ phải lớn hơn x₁, E₂ phải lớn hơn x₂, và cú sốc chung E₁₂ phải lớn hơn giá trị lớn hơn giữa x₁ và x₂.

Nhờ giả thiết độc lập giữa các biến thời gian chờ, xác suất sống sót chung có thể được phân tích thành tích của các xác suất riêng lẻ. Điều này dẫn đến biểu thức:

P(X₁ > x₁, X₂ > x₂) = exp( −λ₁ x₁ − λ₂ x₂ − λ₁₂ max(x₁, x₂) )

Trong biểu thức trên, các hạng tử −λ₁ x₁ và −λ₂ x₂ tương ứng với nguy cơ hỏng riêng lẻ của từng thành phần, trong khi hạng tử −λ₁₂ max(x₁, x₂) phản ánh ảnh hưởng của cú sốc chung tác động đồng thời lên cả hai. Việc xuất hiện toán tử max là hệ quả trực tiếp của cơ chế: cú sốc chung chỉ không gây hỏng khi nó xảy ra sau cả hai thời điểm x₁ và x₂.

Cấu trúc này cho thấy rõ nguồn gốc của sự phụ thuộc: khi λ₁₂ bằng 0, hai biến X₁ và X₂ trở nên độc lập, trong khi khi λ₁₂ tăng, xác suất hỏng đồng thời cũng tăng theo. Do đó, hàm sống sót chung đóng vai trò trung tâm trong việc phân tích và diễn giải mức độ phụ thuộc của mô hình.

Đặc điểm phụ thuộc

Không giống các mô hình phụ thuộc liên tục cổ điển, mô hình Marshall–Olkin cho phép tồn tại xác suất dương để hai biến ngẫu nhiên hỏng cùng lúc. Điều này dẫn đến sự xuất hiện của khối lượng xác suất trên đường chéo X₁ = X₂, một đặc điểm quan trọng trong các ứng dụng thực tế.

Ứng dụng

Mô hình Marshall–Olkin được sử dụng rộng rãi trong:

Lý thuyết độ tin cậy và phân tích hệ thống kỹ thuật
Mô hình rủi ro trong bảo hiểm và tài chính
Các quá trình ngẫu nhiên có cú sốc chung
Mô hình copula không trơn

Kết luận

Nhờ cấu trúc đơn giản nhưng giàu ý nghĩa, mô hình Marshall–Olkin đóng vai trò nền tảng trong việc nghiên cứu các hiện tượng phụ thuộc do tác động chung. Đây cũng là điểm khởi đầu quan trọng cho nhiều mở rộng trong xác suất và thống kê hiện đại.