Xây dựng công thức mật độ và khối lượng bằng tích phân hai lớp

Giả sử tấm bản mỏng chính là một miền D trong mặt phẳng xy với mật độ phân bố (đơn vị khối lượng/đơn vị diện tích) tại điểm (x, y) thuộc D được cho bởi ρ(x,y), là một hàm liên tục trên D. Khi ấy ta có:

ρ(x, y) = lim (Δm/ΔA)

Ở đây Δm và ΔA chính là khối lượng và diện tích của một hình chữ nhật chứa điểm (x, y) và giới hạn được lấy với các chiều của hình chữ nhật tiến về 0 (xem hình vẽ)

Để tìm tổng khối lượng của tấm bản mỏng, chúng ta chia miền hình chữ nhật R chứa miền D thành các hình chữ nhật con nhỏ R_ij có kích thước giống nhau (xem hình vẽ minh họa dưới đây) và xét ρ(x, y) = 0 khi (x, y) nằm ngoài D.

Chọn một điểm bất kỳ (x^*_ij, y^*_ij,) nằm trên R_ij , khi ấy một phần khối lượng của tấm bản mỏng nằm trong R_ij  xấp xỉ bằng ρ(x_ij*, y_ij*)ΔA , trong đó ΔA chính là diện tích của hình chữ nhật con R_ij..

Vậy ta có được diện tích xấp xỉ của tấm bản mỏng là:

Khi chúng ta tăng số lượng các hình chữ nhật con, thì khối lượng của tấm bản mỏng sẽ tính được một giá trị gần với giá trị đúng hơn. Do vậy ta có:

Trong Vật Lý, một dạng mật độ phân bố khác thường hay sử dụng đến, chẳng hạn như Điện Tích.

Giả sử Điện Tích Điện được phân bố trên một miền D, mật độ điện tích (đơn vị điện tích/đơn vị diện tích) tại điểm (x, y) thuộc D là σ(x,y) . Khi ấy tổng điện tích ở trên D được tính bởi công thức: