Ở nội dung bài trước, ta đã biết dùng công thức nguyên hàm và thay thế cận để tính biểu thức tích phân xác định. Trong phần này, ta liệt kê một số ứng dụng của công thức tích phân xác định trong việc giải bài toán tính sự thay đổi.

Giả sử đại lượng f(x) có tốc độ thay đổi là f'(x). Khi đó, sự thay đổi của đại lượng f(x) khi x thay đổi từ a đến b được xác định bằng tích phân của f'(x) từ a đến b được xác định như sau:

 - nếu ta có công thức f(x) thì sự thay đổi của f tương ứng bởi f(b) - f(a);

 - nếu ta có công thức f'(x) thì sự thay đổi của f chính là tích phân xác định của f'(x), cận từ x = a đến x = b.

Kết quả nhận được là số dương/ số âm/ bằng 0 lần lượt nghĩa là đại lượng f(x) tăng/ giảm/ không thay đổi.

Bài toán 1: Tốc độ thay đổi của dân số sau t năm tính từ hiện tại là P'(t). Tính sự thay đổi của dân số trong 3 năm đầu.

Sự thay đổi của dân số trong 3 năm đầu chính là tích phân xác định của P'(t) từ cận t = 0 đến t = 3.

Bài toán 2: Khi sản xuất và bán ra x đơn vị sản phẩm thì chi phí cận biên tương ứng là MC(x) = C'(x) = 2x+5 (đvtt/đvsp). Tính sự thay đổi của chi phí khi lượng sản phẩm tăng từ 5 đvsp đến 10 đvsp.

Vì chi phí cận biên là đạo hàm của hàm chi phí: MC(x) = C'(x) nên sự thay đổi của chi phí tương ứng chính là tích phân xác định của C'(x) từ cận x = 5 đến x = 10.

Bài toán 3: Tốc độ thay đổi của giá bán sau t tháng tính từ đầu tháng 1 là p'(t). Tính sự thay đổi của giá bán từ đầu tháng 3 đến đầu tháng 7 (cùng năm).

Trong bài toán này, ta cần lưu ý về cách xác định cận của tích phân xác định. Vì mốc thời gian từ đầu tháng 1, nghĩa là t = 0, nên các thời điểm đầu tháng 3 và đầu tháng 7 lần lượt là t = 2 và t = 6. Do đó, sự thay đổi của giá bán tương ứng là tích phân xác định của p'(t) từ cận t = 2 đến t = 6.