ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 2 LỚP

Tích phân là một khái niệm toán học. Tích phân cùng với vi phân (differentiation) đóng vai trò là 2 phép tính cơ bản, chủ chốt trong lĩnh vực giải tích (calculus). Trong học phần toán cao cấp A2 của sinh viên Đại học Duy Tân, sinh viên sẽ được tìm hiểu về tích phân nhiều lớp. Tuy khái niệm tích phân nhiều lớp có tính trừu tượng cao, nhưng nó có rất nhiều ứng dụng trong hình học. Một trong những ứng dụng có thể kể đến là tính diện tích của một miền phẳng, tích thể tích của một hình khối, tính khối lượng của một bản mỏng hay là tính diện tích của một mặt cong tổng quát, …

Trong bài viết này, tác giả muốn giới thiệu đến bạn đọc chi tiết các ứng dụng của tích phân 2 lớp:

1. ứng dụng tích phân 2 lớp tính diện tích miền phẳng.

Một miền phẳng có dạng D trong mặt phẳng (Oxy). Khi đó diện tích của miền D được tính bởi công thức:

\(S=\iint\limits_{D}{dA}\).

2. ứng dụng tích phân 2 lớp tính thể tích khối trụ.

Một khối trụ E nằm trên một miền phẳng D trong mặt phẳng (Oxy) và nằm dưới đồ thị của một hàm z = f(x, y). Khi đó thể tích của khối trụ E được tính bởi công thức:

\(V=\iint\limits_{D}{f(x,y)dA}\)

3. ứng dụng tích phân 2 lớp tính khối lượng bản mỏng.

Một bản mỏng có dạng miền D trong mặt phẳng (Oxy), biết khối lượng riêng tại điểm (x, y) là \(\rho (x,y)\). Khi đó khối lượng của bản mỏng được tính bằng công thức:

\(m=\iint\limits_{D}{\rho (x,y)dA}\)

4. ứng dụng tích phân 2 lớp tính diện tích mặt cong.

Một mặt cong (S) được xác định bởi đồ thị của hàm số z = f(x, y), (x, y) thuộc miền D. Khi đó diện tích của mặt cong (S) được tính bởi công thức:

\(S=\iint\limits_{D}{\sqrt{1+{{\left[ {{f}_{x}}(x,y) \right]}^{2}}+{{\left[ {{f}_{y}}(x,y) \right]}^{2}}}}dA\)