Phương trình vi phân là một khái niệm quan trọng trong toán học, nó có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều ngành khao học, chẳng hạn như trong vật lý, phương trình vi phân được sử dụng để mô tả các hiện tượng tự nhiên như chuyển động của các vật thể, dòng chảy của chất lỏng và nhiệt độ của các hệ thống. Hay trong kỹ thuật, phương trình vi phân được áp dụng trong việc thiết kế và mô phỏng các hệ thống điều khiển tự động, dự báo thời tiết, và mô hình hóa cấu trúc vật liệu, và còn rất nhiều các ứng dụng khác. Bây giừ chúng ta có thể kể đến một ứng dụng cụ thể sau:

Bài toán đặt ra: Một bể trong hình vẽ chứa 1000 gal nước, biết tại thời điểm ban có 100 lb muối được hòa tan vào bể. Nước muối chảy với tốc độ 10 gal/phút và mỗi gallon chứa 5 lb muối hòa tan. Hỗn hợp trong bể được giữ đồng đều bằng cách khuấy. Nước muối chảy ra ở mức 10 gal/phút. Tìm lượng muối có trong bể ở thời điểm t.

Bước 1. Thiết lập mô hình. Gọi y(t) là khối lượng muối có trong bể tại thời điểm t. Tốc độ thay đổi lượng muối theo thời gian là:

y' = Tốc độ muối vào – tốc độ muối ra

Khi đó theo bài ta có phương trình vi phân

y' = 50 – 0.01y = –0.01(y – 5000)

Bước 2: Giải phương trình vi phân nhận được

Phương trình vi phân nhận được là một phương trình vi phân tách biến, giải phương trình này bằng cách lấy nguyên hàm hai vế ta được nghiệm của phương trình là

y – 5000 = ce^{–0.01t}

Theo giả thuyết ta có y(0) = 100 nên ta có

c = –4900

Như vậy lượng muối có trong bể tại thời điểm t là

y(t) = 5000 – 4900e^{–0.01t}