Vấn đề trộn hoá chất

Bài toán: Như chúng ta biết trong quá trình trộn hoá chất để tạo chất mới thì sự cố trộn hoá chất xảy ra khá thường xuyên trong ngành hóa chất. Ở đây chúng tôi giải thích cách giải mô hình cơ bản liên quan đến một bể chứa. Bể trong Hình vẽ chứa 1000 gal nước, trong đó ban đầu 100 lb muối được hòa tan. Nước muối chảy với tốc độ 10 gal/phút và mỗi gallon chứa 5 lb muối hòa tan. Hỗn hợp trong bể được giữ đồng đều bằng cách khuấy. Nước muối hết ở mức 10 gal/phút. Tìm lượng muối có trong bể ở thời điểm t.

Giải pháp.

Bước 1. Thiết lập mô hình. Gọi y(t) là khối lượng muối có trong bể tại thời điểm t. Tốc độ thay đổi theo thời gian của nó là

y’ = tốc độ muối chảy vào – tốc độ muối chảy ra   (luật Balance)

5 lb nhân 10 gal tạo ra 50 lb muối. Bây giờ, dòng chảy ra là 10 gal nước muối. Tổng hàm lượng nước muối trong bể LÀ 10/1000 = 0.01, do đó 0.01 hàm lượng muối y(t), tức là 0.01y(t). Do đó mô hình có dạng phương trình vi phân

y' = 50 – 0.01y = –0.01(y – 5000) (*)

Bước 2. Giải mô hình. ODE (*) là phương trình vi phân tách biến. Tách biến, lấy tích phân và lấy số mũ ở cả hai phía cho Ban đầu bể chứa 100 lb muối.

y(t) = 5000 – 4900e^{-0.01t}