Bây giờ chúng ta xét đến một phương pháp rất hữu ích để giải một số dạng toán tìm cực đại, cực tiểu. Joseph Louis Lagrange (1736-1813), một nhà toán học người Pháp ở thế kỷ 18, phát hiện ra phương pháp này, gọi là phương pháp nhân tử Lagrange. Chúng ta nghiên cứu phương pháp này thông qua một ví dụ.

Một chủ trang trại gia súc muốn xây dựng hai bãi chăn thả có cùng kích thước dọc theo hàng rào hiện tại (xem Hình 1). Nếu chủ trang trại có sẵn 720 feet vật liệu làm hàng rào, vậy x, y nên dài bao nhiêu để đạt được tổng diện tích tối đa? Diện tích tối đa là bao nhiêu?

Tổng diện tích được cho bởi :

f(x, y) = xy

diện tích này có thể lớn như chúng ta muốn, nếu x và y không hạn chế. Nhưng có giới hạn đối với x và y vì chúng ta chỉ có 720 feet hàng rào. Biến x và y phải được chọn sao cho

3x + y = 720

Giới hạn đối với x và y này, được gọi là điều kiện ràng buộc, dẫn đến bài toán cực đại-cực tiểu như sau:

         Tìm giá trị lớn nhất        f(x, y) = xy                                           (1)

         sao cho 3x + y =720, hoặc 3x + y - 720 = 0                               (2)

Bài toán này thuộc vào lớp bài toán có dạng tổng quát

Cực đại (cực tiểu) z = f(x, y)                                           (3)

sao cho g(x, y) = 0                                                                (4)

Tất nhiên, chúng ta có thể thử giải phương trình (4) tìm y theo x, hoặc tìm x theo y, sau đó thay kết quả vào phương trình (3), và áp dụng những phương pháp trong Mục 4.5 cho hàm số một biến. Nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu phương trình (4) phức tạp hơn phương trình (2), và việc tìm một biến theo biến còn lại hoặc quá khó hoặc không thể ?

Trong phương pháp nhân tử Lagrange, chúng ta sẽ tính trực tiếp g(x,y) và tránh giải phương trình (4) tìm biến này theo biến kia. Ngoài ra, phương pháp này khái quát hóa các hàm nhiều biến phụ thuộc vào một hoặc nhiều điều kiện ràng buộc. Bây giờ chuyển sang phương pháp này: Chúng ta tạo ra một hàm số F mới, sử dụng hàm f và g trong phương trình (3) và(4), như sau

F(x, y, ) = f(x, y) + 𝛌g(x, y)                                                (5)

Ở đây, 𝛌 (chữ cái thường của Hy Lạp) được gọi là một nhân tử Lagrange.

Đây là cơ sở của phương pháp này.

Phương Pháp Nhân tử Lagrange: