Hàm số tuyến tính là hàm số có dạng y = f(x) = ax + b, trong đó, a và b là những số thực.

Hàm tuyến tính mô tả những đại lượng tăng hoặc giảm với tốc độ cố định theo sự thay đổi của biến x. Nếu a > 0, f(x) là đại lượng tăng, nếu a < 0, f(x) là đại lượng giảm. Nếu a = 0 thì f(x) trở thành hàm hằng.

Trong công thức hàm tuyến tính, a chính là tốc độ tăng hoặc giảm của đại lượng; b là giá trị ban đầu.

Xét bài toán 1: Chim cắt là loài chim lớn, có bản tính hung dữ, đặc điểm nổi bậc nhất của chúng là đôi mắt rực sáng, bộ móng vuốt và chiếc mỏ sắc như dao nhọn, chúng có khả năng lao nhanh như tên bắn và là nỗi khiếp đảm của không ít các loài chim trời, rắn và những loài thú nhỏ như chuột, thỏ, sóc,

a) Từ vị trí cao 16m so với mặt đất, đường bay lên của chim cắt được cho bởi công thức: y = 30x + 16 (trong đó y là độ cao so với mặt đất, x là thời gian tính bằng giây, x>=0). Hỏi nếu nó muốn bay lên để đậu trên một núi đá cao 256m so với mặt đất thì tốn bao nhiêu giây?

b) Từ vị trí cao 256m so với mặt đất hãy tìm độ cao khi nó bay xuống sau 3 giây. Biết đường bay xuống của nó được cho bởi công thức: y = -40x + 256.

Giải:

a) Ta thấy công thức liên hệ giữa độ cao y và thời gian x là công thức của hàm tuyến tính. Trong đó, a = 30, nghĩa là cứ sau 1 giây thì chim cắt bay lên thêm được 30m; b = 16 là độ cao ban đầu của chim cắt.

Thay y = 256 vào công thức  y = 30x +16 ta được x = 8. Vậy thời gian cần bay lên núi đá cao 256m là 8 giây.

b) Công thức  y = -40m + 256 cũng là công thức hàm tuyến tính. Trong đó, a = -40, nghĩa là cứ sau 1 giây thì chim cắt bay xuống 40m (vì hạ độ cao nên a < 0); b = 256 là độ cao hiện tại (ban đầu) của chim cắt.

Thay x = 3 vào công thức  y = -40x + 256 ta được y = 136. Vậy độ cao sau 3 giây của chim cắt là 256 – 136 = 120 m.

Xét ví dụ 2: Giá trị của một chiếc laptop sau khi sử dụng t năm được cho bởi công thức V(t) = 9800000 – 1200000t (đồng).

a) Hãy tính V(2) và cho biết V(2) có nghĩa gì?

b) Sau bao nhiêu năm thì giá trị của chiếc máy tính bảng là 5000000 đồng.

Giải: Công thức V(t) là hàm tuyến tính. Trong đó a = -1200000, nghĩa là sau một năm thì giá trị của laptop sẽ giảm đi 1200000 đồng; b = 9800000 là giá trị ban đầu của laptop

a) Thay t = 2 vào công thức ta được V(2) = 7400000. Vậy sau 2 năm giá trị của laptop là 7400000 đồng

b) Thay V = 5000000 ta tìm được t = 4. Sau 4 năm thì giá trị của máy giảm còn   5000000 đồng.

Xét bài toán 3: Nhiệt độ mặt đất được đo khoảng 30⁰C. Biết rằng cứ lên 1 km thì nhiệt độ giảm đi 5 độ.

a) Hãy lập hàm số T theo h, trong đó T là nhiệt độ (tính bằng độ C) và h là độ cao (tính bằng km).

b) Tính nhiệt độ khi ở độ cao 3 km so với mặt đất.

Giải: Do tốc độ giảm của nhiệt độ T so với độ cao h là cố định nên công thức biểu diễn T(h) là hàm tuyến tính.

a) Gọi T(h) = ah + b; với a là tốc độ giảm của nhiệt độ theo độ cao nên a = -5, b là nhiệt độ ban đầu nên b = 30.

Do đó, ta có công thức T(h) = -5h + 30

b) Ở độ cao 3km so với mặt đất, ta thay h = 3 vào công thức, ta được T(3) = 15 độ C