Trong bài trước, ta đã nghiên cứu công thức tính số dư khi lãi được tính liên tục là

                                  A = Pe^rt

trong đó, P là số tiền gốc (hay giá trị hiện tại), A là số dư (hay giá trị tương lai), r là lãi suất hằng năm của lãi kép liên tục (được biểu diễn dưới dạng số thập phân), và t là thời gian tính theo năm. Chẳng hạn, nếu lãi kép liên tục có lãi suất 12% thì giá trị tương lai của $10,000 vốn đầu tư sau 5 năm là (làm tròn đến đơn vị $)

A = 10,000e^0.12(5) = $18,221

Ta muốn áp dụng khái niệm giá trị tương lai vào việc tính thu nhập có được từ dòng tiền liên tục. Giả sử f(t) là tốc độ lưu chuyển của dòng tiền liên tục và thu nhập sinh ra từ dòng tiền liên tục này được đầu tư ngay khi nhận được với lãi suất liên tục r. Ta đã biết cách tính tổng thu nhập nhận được sau T năm, nhưng làm thế nào để tính được tổng lượng tiền và tiền lãi có được từ thu nhập này? Do lượng tiền được nhận một cách liên tục, ta không thể áp dụng công thức A= Pe^rt. Công thức này chỉ có giá trị cho khoản tiền gốc P riêng lẻ, không phải đối với dòng tiền liên tục. Mặt khác, ta biết rằng phương pháp tính gần đúng bằng tổng Riemann có thể áp dụng được công thức A = Pe^rt . Trước hết, ta chia khoảng thời gian [0, T] thành n đoạn con bằng nhau và có độ dài là Δt, chọn một điểm c_k tùy ý trên mỗi đoạn con, được minh họa trong Hình 1.

 

Hình 1

Tổng thu nhập nhận được trong khoảng thời gian từ t = t_k-1 đến t = t_k bằng diện tích của phần dưới đồ thị f(t) trên đoạn đang xét và được xấp xỉ bằng f(c_k) Δt, là diện tích của phần được tô đậm trong Hình 1. Thu nhập nhận được trong khoảng thời gian này sẽ cho tiền lãi trong khoảng xấp xỉ T - c_k năm. Vậy, từ công thức tính giá trị tương lai A = Pe^rt với P = f(c_k) Δt và t = T - c_k, giá trị tương lai của lượng tiền sinh ra trong khoảng thời gian từ t = t_k-1  đến t = t_k được xấp xỉ bằng