Giáo sư Wilhelm Lenz và một nghiên cứu sinh của ông, Ernst Ising, đã xây dựng mô hình Ising vào năm 1924 để nghiên cứu hiện tượng từ tính của vật liệu sắt từ [1]. Mô hình có thể được biểu diễn toán học trên một lưới, trong đó mỗi điểm tương ứng với moment từ tính của một nguyên tử (atomic spin), có giá trị là \(+1\) hoặc \(-1\). Spin của nguyên tử có giá trị \(+1\) cho biết hướng lên trên, trong khi nó có giá trị \(-1\) cho biết hướng xuống dưới.

 

Trong trường hợp không gian một chiều với điều kiện biên tuần hoàn, trên lưới với \(L\) điểm, một trạng thái của hệ được biểu diễn bởi \(\boldsymbol{\sigma} = (\sigma_1,...,\sigma_L)\) với \(\sigma_i \in \{-1,+1\}\). Để định nghĩa hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt độ, trước tiên ta giới thiệu một hàm năng lượng \(H\) hay còn gọi là Hamintonian liên quan đến một trạng thái của hệ \(\boldsymbol{\sigma}\):

\[ H(\boldsymbol{\sigma}) = -J\sum_{i=1}^{L}\sigma_i \sigma_{i+1} - h\sum_{i=1}^{L} \sigma_i. \]

Thành phần đầu tiên trong hàm năng lượng đại diện cho tương tác giữa các spin láng giềng (ở cạnh nhau), chúng có xu hương xắp sếp giống nhau và có giá trị âm khi cả hai spin đều là \(+1\) hoặc cả hai là \(-1\), và dương khi chúng là \(+1\) kế tiếp \(-1\). Năng lượng tương tác giữa các spin láng giềng được biểu diễn dưới dạng \(-J\sigma_i \sigma_j\), trong đó \(J\) là hệ số dương chỉ định sức mạnh tương tác. Thành phần thứ hai đại diện cho ảnh hưởng của một trường từ tính bên ngoại lên mỗi spin. Trường này làm cho các spin có xu hướng quay theo một hướng cụ thể nào đó. Khi trường từ tính hướng lên trên, các spin có xu hướng quay hướng lên, và khi nó hướng xuống, các spin có xu hướng quay hướng xuống. Năng lượng của trường từ tính bên ngoại tác động lên một spin tại vị trí \(i\) được biểu diễn dưới dạng \(-h\sigma_i\).

 

Với hàm năng lượng được định nghĩa, xác suất tìm thấy hệ ở trạng thái \(\boldsymbol{\sigma}\) có thể được định nghĩa thông qua phân phối Boltzmann: \[ \pi_{eq}(\boldsymbol{\sigma}) = \dfrac{1}{Z_{\beta}}e^{-\beta H(\boldsymbol{\sigma})} \] ở đó \(Z_{\beta}\) là một hằng số chuẩn hóa và \(\beta>0\) là nghịch đảo của nhiệt độ. Độ đo này được biết đến là độ đo Ising với tương tác láng giềng gần nhất. Chỉ số dưới \(eq\) được hiểu rằng hệ thống đang ở trạng thái cân bằng. Chú ý rằng độ đo Ising là một độ đo Gibbs. Tuy nhiên trong trường hợp một chiều thì hay được gọi là độ đo Ising.

 

Trên đây là sơ lược về độ đo Ising dùng để nghiên cứu mô hình Ising cho sự từ tính của vật liệu sắt từ.

 

Tài liệu tham khảo: 1. https://en.wikipedia.org/wiki/Ising\_model