Định Luật Newton về sự giảm nhiệt phát biểu rằng tốc độ giảm nhiệt của một vật thể tỷ lệ với hiệu số giữa nhiệt độ vật thể với nhiệt độ môi trường nếu hiệu số này không quá lớn. (Luật này cũng áp dụng cho quá trình hâm nóng). Nếu gọi T(t) là nhiệt độ của vật thể vào thời điểm t và T­₁ là nhiệt độ của môi trường xung quanh, thì ta có thể mô tả Định luật Newton về sự giảm nhiệt như một phương trình vi phân:

\(\frac{dT}{dt}=k(T-{{T}_{1}})\)

Trong đó k là hằng số. Ta đổi biến y(t)=T(t) - T₁. Vì T₁ là hằng số, nên ta có y’(t)=T’(t) và phương trình trên trở thành

\(\frac{dy}{dt}=ky\)

\(\frac{dy}{dt}=ky\)

Lúc đó ta có thể tìm biểu thức tính y và dựa vào đó để tìm T.

Ví dụ: Một chai soda ở nhiệt độ phòng (72⁰F) được cho vào một tủ lạnh có nhiệt độ 44⁰F. Sau nửa giờ nước soda đã hạ nhiệt xuống còn 61⁰F.

a) Tìm nhiệt độ của nước soda sau nửa giờ tiếp theo?

b) Mất bao lâu nước soda sẽ giảm nhiệt đến 50⁰F?

Giải:

a) Gọi T(t) là nhiệt độ của nước soda sau t phút. Nhiệt độ xung quanh T₁=44⁰F, do đó theo Định luật Newton về sự giảm nhiệt

\(\frac{dT}{dt}=k(T-44)\)

Nếu ta đặt y = T – 44, thì y(0) = T(0) – 44 = 72 – 44 = 28, vì vậy y thỏa mãn

\(\frac{dy}{dt}=ky,\,y(0)=28\)

Và theo công thức \(y(t)=y(0){{e}^{kt}}=28{{e}^{kt}}\)

Theo đề ta có T(30) = 61, do đó y(30) = 61 – 44 =17 và

\(28{{e}^{30k}}=17\Leftrightarrow {{e}^{30k}}=\frac{17}{28}\Leftrightarrow k=-0.01663\)

Do đó

\(y(t)=28{{e}^{-0.01663t}}\)

\(T(t)=44+28{{e}^{-0.01663t}}\)

\(T(60)=44+28{{e}^{-0.01663.60}}\approx 54.3\)

Vì vậy sau nửa giờ nữa nước soda sẽ giảm đến nhiệt độ 54⁰F.

b) Ta có T(t) = 50 khi

\(44+28{{e}^{-0.01663t}}=50\Leftrightarrow {{e}^{-0.01663t}}=\frac{6}{28}\Leftrightarrow t\approx 92.6\)

Nước soda giảm đến 50⁰F mất 1 giờ 33 phút.