Tích phân bội là một loại tích phân xác định được mở rộng cho các hàm có nhiều hơn một biến thực, ví dụ, ƒ(x, y) hoặc ƒ(x, y, z). Các tích phân của một hàm hai biến trên một vùng trong không gian ℝ² được gọi là tích phân kép, và tích phân của hàm ba biến trên một miền của R³ được gọi là tích phân bội ba.^[1]

Giới thiệu

Tích phân xác định của một hàm số dương có 1 biến là một diện tích nằm giữa đồ thị của hàm số đó và trục x, tích phân kép của một hàm số dương 2 biến là thể tích được xác định bởi bề mặt tạo ra bởi hàm số đó (mặt phẳng trong tọa độ 3 chiều z = ƒ(x, y)) và mặt phẳng chứa tập xác định của nó. (Cùng một thể tích có thể thu được thông qua tích phân bội ba—tích phân của một hàm ba biến—của hàm liên tụcf(x, y, z) = 1 trong những miền nói trên giữa bề mặt và mặt phẳng.) Nếu có nhiều biến hơn thì phép tính tích phân sẽ tạo ra các siêu thể tích của các hàm đa chiều.

Tích phân của một hàm n biến: f(x₁, x₂,..., x_n) trên một tập xác định D thường được biểu diễn bằng nhiều ký hiệu tích phân lồng nhau và được tính theo tứ tự từ trong ra ngoài (từ phải sang trái). Miền tích phân hoặc được biểu diễn dạng ký hiệu đối với từng dấu tích phân, hoặc được viết ngắn gọn bằng một biến phía trên của ký hiệu tích phân tận cùng bên phải:^[2]

Vì khái niệm nguyên hàm chỉ được xác định đối với các hàm số có một biến thực, nên định nghĩa thông thường của tích phân bất định không mở rộng cho tích phân nhiều biến.

Định nghĩa

Cho n > 1, tập xác định T gồm n đoạn nửa mở được định nghĩa là:

.

Chia mỗi đoạn [a_j, b_j) thành một tập I_j các khoảng nhỏ không trùng nhau i_jα, trong đó các khoảng nhỏ này đóng bên trái và mở bên phải.

Sau đó, một tập hợp phần tử hữu hạn C được xác lập

là một tập con của T; trong đó C_k là các phần không trùng nhau và tập hợp của chúng là T.

Cho một hàm f: T → R xác định trên T, trong đó tập con C của T được xác định như trên, như vậy C là một tập có m phần tử C_m và

Chúng ta có thể tính gần đúng thể tích tổng thứ n-chiều được giới hạn bên dưới bởi T và bên trên bởi f theo tổng Riemann:

với P_k là điểm ở C_k và m(C_k) là tích của số đoạn C_k.

Đường kính của một đoạn con C_k là chiều dài lớn nhất trong các khoảng mà tích Descartes bằng C_k. Đường kính của một phân vùng cho trước T được định nghĩa là đường kính lớn nhất của các đoạn con trong phân vùng đó. Bằng trực giác, khi đường kính của phân vùng C được giới hạn càng ngày càng nhỏ, số lượng các đoạn con m càng lớn, và số đo m(C_k) của mỗi đoạn con lại càng nhỏ. Hàm f được gọi là khả tích Riemann của f trên T nếu tồn tại giới hạn

, khi giới hạn tiếp nhận tất cả các phân vùng có thể có của T với đường kính tối đa là δ.^[3]

Nếu f khả tích Riemann thì S được gọi là tích phân Riemann của f trên T và được ký hiệu là

Có thể viết ngắn gọn là

.

với x là số biến (x₁,... x_n) và dⁿx là vi phân thể tích n-chiều.

Tích phân Riemann của một hàm được xác định trên một tập n-chiều bị chặn tùy ý mà có thể được định nghĩa bằng cách mở rộng hàm đó thành một hàm được xác định trên một đoạn nửa mở có giá trị là zero bên ngoài miền của hàm ban đầu. Thì tích phân của hàm ban đầu trên miền gốc được xác định là tích phân của hàm mở rộng trên miền chữ nhật của nó, nếu nó tồn tại.

Trong phần tiếp theo tích phân Riemann trong không gian n-chiều sẽ được gọi tích phân bội.

Tính chất

Tích phân bội có nhiều tính chất chung với các tích phân của các hàm một biến (tuyến tính, giao hoán, đơn điệu, vv.). Một tính chất quan trọng của tích phân bội là giá trị của một tích phân độc lập với thứ tự của các hàm lấy tích phân dưới những điều kiện nhất định. Tính chất phổ biến này được gọi là định lý Fubini.^[4]

Các trường hợp đặc biệt

Trong trường hợp T ⊆ R², tích phân

là tích phân kép của f trên T, và nếu T ⊆ R³ thì tích phân

là tích phân bội ba của f trên T.

Theo quy ước, tích phân kép có hai dấu tích phân, và tích phân bội ba có ba dấu; đây là một quy ước ký hiệu cực kỳ tiện lợi khi tính toán một tích phân bội như là tính một tích phân được lặp, mà sẽ được chứng minh sau trong bài viết này.